北师大版（新）八上-4.2 一次函数与正比例函数【优质课件】

(共43张PPT)
4.2 一次函数与正比例函数
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾与思考
什么叫函数
在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
新课精讲
探索新知
1
知识点
一次函数
某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg,弹賛长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：
(2)你能写出y与x之间的关系式吗？
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
y=3+0.5x.
探索新知
做一做
某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
（1）完成下表：
(2)你能写出耗油量y（L )与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？
(3 )你能写出油箱剩余油量z ( L )与汽车行驶路程x( km)之间的关
系式吗？
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
6
12
18
24
30
36
探索新知
一次函数：
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 的形式，则称y是x的一次函数.
探索新知
例1 已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2 －(m＋n－8)．
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．
导引：(1)由一次函数的定义，结合原函数式的特征知：
①二次项的系数必为0，即n2－4＝0；
②(2n－4)xm－2必为一次项，即m－2＝1，2n－4≠0；
(2)写出关系式，运用代入法求函数值．
探索新知
解：(1)由题意，得：n2－4＝0，2n－4≠0，m－2＝1，
即n＝±2，n≠2，m＝3.
所以m＝3，n＝－2.
因此，当m＝3，n＝－2时，函数是一次函数．
(2)由(1)得此一次函数关系式为y＝－8x＋7.
当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1.
探索新知
总 结
根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意：
(1) 函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；
(2) 注意隐含条件：一次项的系数不为0.
典题精讲
1
下列函数①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝ ，④y＝x2中，一次函数的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(　　)
A．－3 B．3
C．±3 D．±2
2
B
A
探索新知
2
知识点
正比例函数
定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
也就是一次函数中当b=0时，称y＝ kx是x的正比
例函数 . 即正比例函数是特殊的一次函数.
探索新知
例2 已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k＝________．
导引：根据正比例函数的定义，此函数关系式应满足：
(1)自变量x的指数为1，即|k|－1＝1，所以k＝±2；
(2)比例系数k－2≠0，即k≠2.综上，k＝－2.
－2
探索新知
总 结
由正比例函数的定义知正比例函数的自变量的指为1；应用定义求值时，不要忽视比例系数不为0这一条件．
典题精讲
1
下列y关于x的函数中，是正比例函数的为(　　)
A．y＝x2　　　　　　 B．y＝
C．y＝ D．y＝
已知函数y＝2x2a＋b＋2b是正比例函数，则a＝________，b＝________.
2
C
0
探索新知
3
知识点
一次函数与正比例函数的关系
1.一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即为y＝kx，所以说正比例函数是特殊的一次函数．
2.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
探索新知
例3 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程y( km )与行驶时间x (h)之间的关系；
(2)圆的面积y（cm2)与它的半径x (cm)之间的关系；
(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h, x h后这个水池内有水ym3.
探索新知
解：(1)由路程=速度×时间，得y = 60x，y是x的一次函数，也是x 的正比例函数；
(2)由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；
(3)这个水池每时增加5 m3水，x h增加5xm3水，因而y=15 + 5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
探索新知
知识点
例4 已知函数y＝(m－1)x＋1－3m.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
解：(1) 根据一次函数的定义可得：m－1≠0，所以m≠1，即当m≠1时，y是x的一次函数．
(2) 根据正比例函数的定义可得：m－1≠0且1－3m＝0，所以m＝ ，即当m＝ 时，y是x的正比例函数．
典题精讲
下列说法中正确的是(　　)
A．一次函数是正比例函数
B．正比例函数不是一次函数
C．不是正比例函数就不是一次函数
D．不是一次函数就不是正比例函数
若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足________；若该函数是正比例函数，则满足________________；
若m＝1，n＝－2，则函数关系式是______________．
1
2
D
m≠－2
m≠－2且n＝4
y＝9x－6
探索新知
4
知识点
确定实际问题中一次函数关系式
例5 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过3 500元的部分不收税；月收入超过3 500元但不超过5 000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3 860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3 860-3 500) ×3% = 10.8 (元）.
(1)当月收入超过3 500元而又不超过5 000元时，写出应缴纳个人工资、 薪金所得税y(元）与月收入x (元）之间的关系式；
(2)某人月收入为4 160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
探索新知
知识点
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那 么此人本月工资、 薪金收入是多少元？
解：（1）当月收入超过3 500元而不超过5 000元时，
y = (x -3 500) × 3%,即y= 0.03x-105;
（2）当 x = 4160 时，y = 0.03 × 4160-105 = 19.8 (元)；
（3）因为（5000-3500) × 3% = 45 (元），19.2<45,
所以 此人本月工资、 薪金收入不超过5 000元.
设此人本月工资、薪金收入是x元，
则19.2 = 0.03x-105, x = 4140.
即此人本月工资、薪金收入是4 140元.
探索新知
知识点
例6 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1 min，再付话费0.4元；“神州行”使用者不缴月租 费，每通话1 min，付话费0.6元(均指市内通话)．若一个月内通话时间为x min，两种通讯业务的费用分别为y1元与y2元．
(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)一个月内通话时间为多少分钟时，两种通讯业务的费用相同？
(3)若某人一个月的话费为200元，则选择哪种通讯业务比较合算？
　　
探索新知
知识点
导引：这是一道实际生活中的应用题，解题时务必对这两种不同的通讯业务仔细分析、比较，方可得出正确结论．
解：(1) y1＝50＋0.4x(x≥0)；y2＝0.6x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，则50＋0.4x＝0.6x，解得x＝250.所以一个月内通话时间为250 min时，两种通讯业务的费用相同．
(3)当y1＝200时，有200＝50＋0.4x，解得x＝375.
当y2＝200时，有200＝0.6x，解得x＝333 .因为375＞333 ，
所以若某人一个月的话费为200元，则选择“全球通”通讯
业务比较合算．　　
探索新知
知识点
总 结
确定实际问题中的一次函数关系式时，要注意自变量的取值范围 .
典题精讲
某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数关系式和自变量取值范围分别是(　　)
A．y＝0.12x，x>0
B．y＝60－0.12x，x>0
C．y＝0.12x，0≤x≤500
D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
1
D
典题精讲
已知等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x之间的函数关系式为(　　)
A．y＝20－2x(0B．y＝10－x(0C．y＝20－2x(5D．y＝10－x(52
C
学以致用
小试牛刀
1.已知函数y＝2x2a＋b＋a＋2b是正比例函数，则a＝________，b＝________.
2.下列y关于x的函数中，是正比例函数的为(　　)
A．y＝x2　 B．
C． D．
C
小试牛刀
3.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
(1) y＝－8x； (2)
(3) y＝5x2＋6； (4) y＝－0.5x－1.
(1)，(4)是一次函数；(1)是正比例函数．
解：
小试牛刀
4.下列函数中，y是x的一次函数的是(　　)
A．y＝x2＋2x　　　　 B．y＝
C．y＝x D．y＝
C
5.下列函数：①y＝2x－1；②y＝πx；③y＝ ④y＝x2中，一次函数的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B
小试牛刀
6.下列说法正确的是(　　)
A．正比例函数是一次函数
B．一次函数是正比例函数
C．对于变量x与y，y是x的函数，x不是y的函数
D．正比例函数不是一次函数，一次函数也不是正比例函数
A
小试牛刀
7.如图，图象表示的一次函数解析式为(　　)
A．y＝－x－5
B．y＝x－5
C．y＝x＋5
D．y＝－x＋5
D
小试牛刀
8.已知y－5与3x－4成正比例关系，并且当x＝1时，y＝2.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当x＝－2时，求y的值；
(3)当y＝－2时，求x的值；
(4)当x为何值时y＜0，若y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．
小试牛刀
(1)设y－5与3x－4的函数关系式为：y－5＝k(3x－4)，
当x＝1，y＝2时有(3－4)·k＝2－5，解得k＝3，
∴y＝9x－7.
(2)当x＝－2时，y＝－25.
(3)当y＝－2时，x＝ .
(4)当y＜0时，有9x－7＜0，
∴x＜ ，即当x< 时y<0.
当0≤y≤5时，有0≤9x－7≤5，解得 ≤x≤ .
解：
小试牛刀
9．我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6 ℃.某时刻，益阳地面温度为20 ℃，设高出地面x千米处的温度为y ℃.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少？
(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃，求飞机离地面的高度为多少千米？
小试牛刀
(1)y＝20－6x(x＞0)．
(2)500米＝0.5千米，当x＝0.5时，y＝20－6×0.5＝17.
即这时山顶的温度大约为17 ℃.
(3)当y＝－34时，有－34＝20－6x，解得x＝9.
即飞机离地面的高度为9千米．
解：
小试牛刀
10．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌
拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人，如图所示，请你
结合这个规律，填写下表并回答问题：
(1)写出y与x之间的函数解析式，并判断y是不是x的一次函数；
(2)若八年级(1)班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌拼成一行？
拼成一行的方桌数(x) 1 2 3 4 …
人数(y) 4 6 8 …
10
小试牛刀
(1)y＝2x＋2，y是x的一次函数．
(2)把y＝42代入y＝2x＋2中，
得42＝2x＋2，
解得x＝20.
答：需要20张这样的方桌拼成一行．
解：
课堂小结
课堂小结
一次函数和正比例函数：
一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数．特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数．说明：
(1)正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数；
(2)判断一个函数是否是一次函数，必须将其化成最简形式．
同学们，
下节课见！
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（任务-发布任务-选择章节）