北师大版（新）八上-5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式【优质课件】

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课堂小结
课前导入
情景导入
一次函数的一般形式是什么？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两点
(x1, y1), (x2, y2)
一次函数的图象直线l
选取
解出
画出
选取
1
知识点
用二元一次方程组求一次函数表达式
因为一次函数的一般形式是y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和b的值(即待定系数).
探索新知
例1 已知一次函数的图象经过(－4，15)，(6，－5)两点，求一次函数的表达式．
导引：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(－4，15)，(6，－5)两点，所以当x＝－4时，y＝15；当x＝6时，y＝－5.由此可以得到关于k，b的方程组，解方程组即可求出待定系数k和b的值．
探索新知
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
因为y＝kx＋b的图象经过(－4，15)和(6，－5)两点，
所以
所以一次函数的表达式为y＝－2x＋7.
解得
探索新知
像这样，通过先设定函数表达式(确定函数模型)，
再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函
数的表达式的方法称为待定系数法.
总 结
探索新知
例2 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－2，5)，并且与y轴交于点P.直线 与y轴交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称．求这个一次函数的表达式．
导引：要确定这个一次函数的表达式，关键是求出点P的坐标．
探索新知
解：因为点Q是直线
所以点Q的坐标为(0，3)．
又因为点P与点Q关于x轴对称，
所以点P的坐标为(0，－3)．
所以直线y＝kx＋b过(－2，5)，(0，－3)两点，
所以
所以这个一次函数的表达式为y＝－4x－3.
与y轴的交点，
所以
探索新知
用待定系数法确定函数表达式时，应注意结合题
目信息，根据不同情况选择相应方法：(1)如果已知直
线经过点的坐标，那么可直接构造方程(组)求解；(2)当
直线经过的点的坐标未知时，结合题意，先确定直线
经过的点的坐标，再构造方程(组)求解．
总 结
典题精讲
1 如图，一次函数的图象经过A，B两点，则这个函数的表达式为(　　)
A．
　B．
C．y＝2x＋2 　　　　　　
D．y＝－x＋2
C
典题精讲
2 若点A(2，－3)、B(4，3)、C(5，a)在同一条直线上，
则a的值是(　　)
A．6或－6 B．6
C．－6 D．6或3
B
探索新知
2
知识点
用二元一次方程组求实际问题的一次函数表达式
A, B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行. 假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s (km)都是骑车时间 t(h)的一次函数. 1 h后乙距离A地80 km; 2 h后甲距离A地30 km.经过多长时间两人将相遇？
你是怎样做的？与同伴进行交流.
探索新知
　　可以分别画出两人s与t之间关 系的图象(如图)，找出交点的横 坐标就行了！
小明
甲
乙
探索新知
小颖
　　对于乙，s是t的一次函数，可以设s=kt＋b．
当t= 0时，s = 100；当t=1时，s = 80．将它们分别代入s=kt＋b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式．同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式，再联立这两个表达式，求解方程组就行了！
探索新知
(1)你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗
(2)小明的方法求出的结果准确吗？
小亮
　　1 h后乙距离A地80 km，即乙的速度是20 km/h; 2 h后甲距离A地30 km，也即甲的速度是15 km/h，由此可以求出甲、乙两人的速度和……
探索新知
例3 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y (元)是行李质量x(kg)的一次函数. 已知李明带了 60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了 90 kg的行李，交了行李费10元.
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？
探索新知
解：(1)设y=kx + b，根据题意，得
②－①，得30k＝5,
将
所以
　　 (2)当x= 30 时，y＝0．
　　　 所以旅客最多可免费携带30 kg的行李.
代入①，得b＝－5.
探索新知
例4 已知某山区的平均气温与该山区的海拔关系如下表：
(1)若海拔用x(m)表示，平均气温用y(℃)表示，试写出y与x的函数表达式；
(2)若某种植物适宜生长在18～20 ℃(含18 ℃和20 ℃)的山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？
海拔/m 0 100 200 300 400 …
平均气温/℃ 22 21.5 21 20.5 20 …
探索新知
导引：观察、分析表中数据可知，海拔每增加100 m，平均气温就要下降0.5 ℃.这符合一次函数的特征，因此可以建立一次函数的模型解题．
(1)从表格中获取两对x，y的对应值(便于计算)，利用待定系数法求一次函数表达式；
(2)将问题转化为函数问题，即求已知函数值所对应的自变量x的值．
探索新知
解：(1)设所求函数表达式为y＝kx＋b(k≠0，x≥0)．
因为当x＝0时，y＝22，当x＝200时，y＝21，
所以
所以所求函数表达式为
所以
探索新知
(2)由(1)知
令y＝18，得x＝800，令y＝20，得x＝400，
所以当18≤y≤20时，400≤x≤800.
所以该植物适宜种植在海拔为400 m～800 m(含
400 m和800 m)的山区．
探索新知
总 结
表格信息题是中考的热点题，解决表格问题的关键是从表格中获取正确、易于解决问题的信息；其建模的过程是：先设出函数的表达式，然后找出两对对应值，列出二元一次方程组，求解即可得到表达式．
探索新知
例5 某通讯公司采用分段
计费的方法来计算话费，月通话
时间x(min)与相应话费y(元)之
间的函数图象如图.
(1)分别求出当0≤x＜100和x≥100时，y与x之间的函数表达式．
(2)月通话时间为280 min时，应交话费多少元？
探索新知
导引：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可以观察到，当0≤x＜100时，y与x之间是正比例函数关系；当x≥100时，y与x之间是一次函数关系，分别用待定系数法可求得它们的表达式．
解： (1)当0≤x＜100时，设y1＝k1x(k1≠0)，将(100，40)代入得100k1＝40，解得
所以当0≤x＜100时，y与x之间的函数表达式为
探索新知
当x≥100时，设y2＝k2x＋b(k2≠0)，
将(100，40)及(200，60)分别代入得
解得
所以当x≥100时，y与x之间的函数表达式为
(2)因为280＞100，
所以将x＝280代入
即月通话时间为280 min时，应交话费76元．
得
分段函数中，自变量在不同的取值范围内的表达式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化．分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用．本题考查一次函数及识图能力，体现了数形结合思想．解决问题的关键是由图象挖掘出有用的信息，利用待定系数法先求出函数表达式，再解决问题．
总 结
典题精讲
1 如图是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李质量x(kg)的关系的图象，由图象可知，乘客可以免费托运行李的最大质量为(　　)
A．20 kg
B．30 kg
C．40 kg
D．50 kg
A
典题精讲
2 小亮家与姥姥家相距24 km，小亮8:00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8:30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S(km)与北京时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得到下列结论，其中错误的是(　　)
A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/h
B．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
C．妈妈在距家12 km处追上小亮
D．9:30妈妈追上小亮
D
学以致用
小试牛刀
如图，已知直线y＝－x＋4与y＝x＋2，则方程组
的解为(　　)
A. 　 　B.
C. 　 　D.
y＝－x＋4，
y＝x＋2
1．
x＝3，
y＝1
x＝1，
y＝3
x＝0，
y＝4
x＝4，
y＝0
B
小试牛刀
已知 的解为 则直线y＝mx＋n与y＝－ex＋f 的交点坐标为(　　)
A．(4，6) B．(－4，6)
C．(4，－6) D．(－4，－6)
2．
A
－mx＋y＝n，
ex＋y＝f
x＝4，
y ＝6，
小试牛刀
3．若方程组 没有解，则一次函数y＝2－x与
y＝ －x的图象必定(　　)
A．重合 B．平行
C．相交 D．无法确定
x＋y＝2，
2x＋2y＝3
B
小试牛刀
4．直线y＝－a1x＋b1与直线y＝a2x＋b2有唯一交点，则二元一次方程组 的解的情况是(　　)
A．无解　 B．有一个解　
C．有两个解　 D．有无数解
a1x＋y＝b1，
a2x－y＝－b2
B
小试牛刀
5．已知 和 是二元一次方程ax＋by ＝－3的两个解，则一次函数y＝ax＋b的图象与y轴的交点坐标是(　　)
A．(0，－7)　 B．(0，4)　
C ．(0，－ )　 D ．(－ ，0)
x＝3，
y＝－2
x＝2，
y＝1
C
小试牛刀
6．解方程组：
3x＋2（x＋y）＝－1，①
3y－4（x＋y）＝5. ②
解：
①＋②并化简，得x＋y＝4.③
分别把③代入①和②，得x＝－3，y＝7，
所以原方程组的解为
x＝－3，
y＝7.
小试牛刀
7．已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，a)，试确定方程组 的解和a，b的值．
2x－y＝0，
x＋y－b＝0
解：
将(1，a)代入y＝2x，得a＝2.
因为直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，2)，
所以方程组
的解是
将(1，2)代入y＝－x＋b，得2＝－1＋b，解得b＝3.
2x－y＝0，
x＋y－b＝0
x＝1，
y＝2.
小试牛刀
8．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式．
解：
依题意，将A(1，－1)与B(－1，3)的坐标代
入y＝kx＋b中，得
解得k＝－2，b＝1，
所以所求的一次函数的表达式为
y＝－2x＋1.
k＋b＝－1，
－k＋b＝3.
课堂小结
课堂小结
1. 待定系数法：
先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法，叫做待定系数法．
2．用待定系数法求表达式的一般步骤：
(1)设出含有待定系数的函数表达式；
(2)把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，得到关于待定系数的方程(组)；
(3)解方程(组)，求出待定的系数；
(4)将求得的待定系数的值代回所设的表达式．
同学们，
下节课见！
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