北师大版（新）八上-5.8 三元一次方程组【优质课件】

(共41张PPT)
5.8 三元一次方程组
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和 比丙数大20，求这三个数.
在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
含有三个未知数
含未知数的项次数都是一次
特点
新课精讲
探索新知
1
知识点
三元一次方程(组)的有关概念
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做三元一次方程组.
定义
探索新知
三元一次方程组必备条件：
(1)是整式方程；
(2)共含三个未知数；
(3)三个都是一次方程；
(4)联立在一起．
探索新知
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　)
A. B.
C. D.
D
探索新知
导引：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中有含未知数的项的次数为2的项，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中
不是整式，故B选项不是；C选项中方程组中共含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．
典题精讲
1 下列方程是三元一次方程的是________．(填序号)
①x＋y－z＝1; ②4xy＋3z＝7；
③ ④6x＋4y－3＝0.
①
典题精讲
2 ① ② ③
④ ⑤
其中是三元一次方程组的是_______．(填序号)
①②
探索新知
2
知识点
三元一次方程组的解法
怎样解三元一次方程组呢？
我们会解二元一次方程组，能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
用代入消元
法试一试！
探索新知
例2 解方程组：
解：由方程②得x＝y＋1， ④
把④分别代入①③，得2y＋z＝22，⑤
3y－z＝18. ⑥
啊哈，消去了未知
数x，变成二元一次方
程组了，我会解！
探索新知
解由⑤ ⑥组成的二元一次方程组，得
把y＝8代入④，得 x＝8+1=9.
经检验， x＝9，y＝8，z＝6适合原方程组.
所以原方程组的解是
检验可以口算或
在草稿纸上演算，以后
可以不必写出.
探索新知
1.做一做：
(1)解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数y(或z)，从而得到方程组的解吗？
(2)你还有其他方法吗？与同伴进行交流.
2.议一议：
上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系 解三元一次方程组的思路是什么？
探索新知
3.解三元一次方程组
(1)基本思路: 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”
——把“三元”化为“二元”， 再化为“一元”.
(2)求解方法：加减消元法和代入消元法．
消元
消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
探索新知
例3 (一题多解)解三元一次方程组：
导引：方法一：把③分别代入①②消去x这个“元”；
方法二：观察发现三个方程中x的系数都是1，
因此可以用加减法消去x这个“元”；
方法三：由方程①②消去z这个“元”．
探索新知
解：方法一：将③分别代入①②，得
解得
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解为
探索新知
方法二：②－①，得y＋4z＝10，④
②－③，得6y＋5z＝22，⑤　
联立④⑤，得
把y＝2代入③，得x＝8，
所以原方程组的解为
解得
探索新知
方法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60, ④　
④－②，得4x＋3y＝38，⑤，
联立③⑤，得
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2，
所以原方程组的解为
解得
探索新知
总 结
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
典题精讲
1 解三元一次方程组 先消去_______，化
为关于________、________的二元一次方程组较简便．
2 解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选(　　)
A．消去x B．消去y
C．消去z D．以上说法都不对
z
x
y
B
探索新知
3
知识点
三元一次方程组的应用
例4 一个三位数，十位数字是个位数字的 百位数字与十位数字之和比个位数字大1.将百位与个位数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
导引：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z.
探索新知
解：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为x，y，z.
由题意，得
解得
答：原三位数是368.
探索新知
总 结
解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b；如果一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，那么
这个三位数可表示为100a＋10b＋c，以此类推．
探索新知
例5 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
导引：题中有三个等量关系：
①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；
②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；
③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
探索新知
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路
的长度分别是x km，y km和z km.
由题意得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，
平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
解得
探索新知
总 结
解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．
典题精讲
某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排________名工人缝
制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．
120
学以致用
小试牛刀
1. 解方程组
设
则原方程组可化为
①＋②，得2a＋2c＝1，④
②＋③，得2a＋4c＝4.⑤
④与⑤组成方程组，得
解这个方程组，得
解：
小试牛刀
把 代入①，得b＝6.
因此，x＝－1，y＝ ，z＝ .
即原方程组的解为
本题运用了换元法，将 分别用a，b，c表示，将原方程组化为关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值后，进一步再求x，y，z的值，这种方法可使解题过程变简便．
小试牛刀
2. 解方程组
设x＝k，y＝2k，z＝3k，代入②，得
2k＋2k－9k＝15.
解得k＝－3.
所以原方程组的解为
解：
小试牛刀
3. 解方程组：
①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝12，
所以x＋y＋z＝6.④
④－①，得z＝3.
④－②，得x＝1.
④－③，得y＝2.
所以原方程组的解为
解：
小试牛刀
4. 如图是一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“ ”里的数之和，请你通过计算确定三个“ ”里的数之和，并且确定三个“ ”里应填入的数．
小试牛刀
如图，如果把三个“ ”里的数分别记作x，y，z，
则
①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝142，
即x＋y＋z＝71.④
④－①，得z＝－12.
④－②，得x＝50.
④－③，得y＝33.
解：
小试牛刀
所以三元一次方程组的解为
所以三个“ ”里的数之和为71，三个“ ”里应填入的数按先上后下，先左后右的顺序依次为50，33，－12.
小试牛刀
5. 已知甲、乙二人解关于x，y的方程组 甲正确地解得 而乙把c抄错了，解得 求a，b，c的值．
甲正确地解得 故可把 代入原方程组．
乙仅抄错了题中的c，解得 故可把
代入第一个方程．
由题意得 解得
解：
课堂小结
课堂小结
解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基本过程为：三元
二元
一元．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）