北师大版（新）八上-7.2 定义与命题 第二课时【优质课件】

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7.2 定义与命题
第2课时
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新课精讲
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课堂小结
课前导入
情景导入
想一想
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
定理与公理
用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.
这些方法往往不可靠.
能不能根据已经知道的真命题证实呢？
探索新知
那已经知道的真命题又是如何证实的？
哦……那可怎么办？
探索新知
1.其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得 （Euclid，公元前300年前后）编写了一 本书，书名叫做《原本》（Elements）. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理 (axiom).除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.
探索新知
2.本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
探索新知
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（8）三边分别相等的两个三角形全等.另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它.此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c， 那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
探索新知
例1 下列命题不是公理的是(　　)
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等
导引：公认的真命题称为公理，其正确性不需要推理证实．
C
探索新知
总 结
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等是定理，不是公理．
典题精讲
1 “两点之间，线段最短”这一语句是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．定理 B．公理 C．定义 D．假命题
2 下列叙述错误的是(　　)
A．所有的命题都有条件和结论
B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题
D．所有的公理都是真命题
B
B
探索新知
2
知识点
证 明
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理. 每个定理都只能用公理、定义和已经证明 为真的命题来证明.
探索新知
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不 能作为进一步判断其他命题真假的依据.
探索新知
例2 已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O,
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
由上面的例题，我们可以得到定理：
定理 对顶角相等.
探索新知
例3 如图，在直线AC上取一点O，作射线
OB，OE和OF，使OE和OF分别平分
∠AOB和∠BOC，求证：OE⊥OF.
证明：因为OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，
所以∠EOB＝
又因为∠AOB＋∠BOC＝180°，
所以∠EOB＋∠BOF＝ ×180°＝90°.
即∠EOF＝90°，所以OE⊥OF.
探索新知
总 结
要证明命题是正确的，可以从条件出发，根据
定义、公理和已学过的定理，逐步进行推理．
典题精讲
1 下列说法错误的是(　　)
A．命题是判断一件事情的句子
B．基本事实的正确性必须得到证明
C．证明假命题举一个反例即可
D．推理的过程叫做证明
B
典题精讲
2 在每一步推理后面的括号内填上理由．
证明：(1)如图①，因为AB∥CD，EF∥CD，所以
AB∥EF(_______________________________________)．
(2)如图②，因为AB∥CD，过点F画EF∥AB
(______________________________________________________)，
所以 EF∥CD(_____________________________________)．
平行于同一条直线的两直线平行
平行于同一条直线的两直线平行
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
学以致用
小试牛刀
1．(1)定理是真命题(填“真”或“假”，下同)．
“如果ab＝0，那么a＝0”是_____________．
“如果a＝0，那么ab＝0” 是_____________．
(2)“如果(a－1)(a－2)＝0，那么a＝2”是假命题，反例是_____________．
假命题
真命题
a＝1
2．能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是( )
A. a＝－2 B. a＝ C. a＝1 D. a＝
A
小试牛刀
3．有下列命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0.其中假命题的个数是( )
A. 1　　　　 B. 2 C. 3　　　　 D. 4
4．有下列命题：①三角形的两边之和大于第三边；②相等的角是对顶角；③若a与b互为倒数，则ab＝1；④绝对值等于本身的数是正数．其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
B
小试牛刀
6．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
(2)两个负数的差一定是负数．
解：(1)假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．
(2)假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.
小试牛刀
7．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题(至少写两个命题)．
【解】　答案不唯一，如：若a∥b，b∥c，则a∥c；
若a∥b，a∥c则b∥c；
若b∥c，a∥c，则a∥b；
若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
若a⊥b，b∥c，则a⊥c；
若b∥c，a⊥c，则a⊥b.
小试牛刀
8．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是(B)
A. 若甲对，则乙对 B. 若乙对，则甲对
C. 若乙错，则甲错 D. 若甲错，则乙对
解：A项，若甲对，即只参加一项的人数大于14人，则两项都参加的人数小于6人，故乙可能对也可能错．
B项，若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数至少为16人，故甲对．
C项，若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对也可能错．
D项，若甲错，即只参加一项的人数至多为14人，则两项都参加的人数至少为6人，故乙错．
综上所述，真命题只有“若乙对，则甲对”．
小试牛刀
9．有下列命题：①若a＋b＞0且ab＞0，则a＞0且b＞0；②若a＞b且ab＞0，则a＞b＞0；③一个锐角的补角比它的余角小90°.其中属于真命题的是____(填序号)．
解：①由ab＞0，可得a，b同号．又∵a＋b＞0，∴a＞0且b＞0，故本项正确．
②令a＝－1，b＝－2，则ab＝2＞0，则b＜a＜0，故本项错误．
③一个锐角的补角比它的余角大90°，故本项错误．
①
小试牛刀
10．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°.
(1)∠1＝ ，∠2＝ ．
(2)请观察∠1，∠2与∠ABC分别有怎样的关系，请你由此归纳一个真命题．
解：(2)∠1＝∠ABC，∠2＋∠ABC＝180°.真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
25°
155°
课堂小结
课堂小结
几何的推理方法主要有两种：
一种是综合法，即由“因”到“果”，由已知条件逐步推导出结论；
一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，分析必须找到什么样的条件，一步一步反推到条件．
证明的一般步骤：
①审题，分清命题的条件和结论；
②画图，结合图形写出已知和求证；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程．
同学们，
下节课见！
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