北师大版（新）八上-7.4 平行线的性质【优质课件】

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7.4 平行线的性质
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复
习
回
顾
条件
结论
平行线的判定
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
新课精讲
探索新知
1
知识点
平行线的性质
1.定理：两直线平行，同位角相等.
（1）已知：如图1，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线
EF截出的同位角.
求证：∠1 = ∠2.
如果∠1≠∠2，
AB与CD的位置关
系会怎样呢？
图1
探索新知
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图2所示.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH//CD.又因为AB// CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
图2
探索新知
（2）性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等．
表达方式：如图，因为a∥b，(已知)所以∠1＝∠2.(两直线平行，同位角相等)
探索新知
例1 如图，若AB∥CD，且∠1＝∠2，试判断AM与CN的位置关系，并说明理由．
导引：AM与CN的位置关系很显然是平行的，要说明AM∥CN，可考虑说明∠EAM＝∠ECN.因为∠1＝∠2，所以只需说明∠EAB＝∠ACD即可，由于“两直线平行，同位角相等”，所以根据AB∥CD即可得出∠EAB＝∠ACD.
解：AM∥CN.
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠EAB＝∠ACD(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠MAE＝∠NCA(等式性质)．
∴AM∥CN(同位角相等，两直线平行)．
探索新知
总 结
当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是否出现了相等的角．
平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及．
典题精讲
1 如图，AB∥CD，BC平分∠ABD. 若∠C＝40°， 则∠D的度数为(　　)
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
B
典题精讲
如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
C
探索新知
2.定理：两直线平行，内错角相等.
（1）已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是
直线l1，l2被直线l截出的内错角.
求证：∠1= ∠2.
证明：∵l1//l2（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠2=∠3 （对顶角相等），
∴∠l=∠2 (等量代换）.
探索新知
（2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
简称：两直线平行，内错角相等．
表达方式：如图，因为a∥b (已知) ，
所以∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等) .
要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下 才有内错角相等．
探索新知
例2 如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，试说明AE平分∠CAD.
导引：要说明AE平分∠CAD，即说明∠DAE＝
∠CAE.由于AE∥BC，根据两直线平行，
同位角相等和内错角相等可知∠DAE＝∠B，
∠EAC＝∠C，这就将说明∠DAE＝∠CAE转化为说明∠B＝∠C了．
解：∵AE∥BC(已知)，
∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠EAC＝∠C(两直线平行，内错角相等)，
∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠EAC(等量代换)．
∴AE平分∠CAD(角平分线的定义)．
探索新知
总 结
本题同时运用了“两直线平行，同位角相等”
和“两直线平行，内错角相等”，提供了一种说明
两个角相等的新思路．
典题精讲
如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝35°，则∠3的度数是(　　)
A．75°
B．55°
C．40°
D．35°
C
典题精讲
如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是(　　)
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
C
探索新知
3.定理：两直线平行，同旁内角互补.
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补．
表达方式：如图，因为a∥b (已知) ，所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补) .
探索新知
例3 如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，那么你能说出∠2，∠3，∠4的度数吗？为什么？
导引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1＋∠2＝
180°；由DF∥AB，可得∠3＝∠2，
从而得出∠2，∠3，∠4的度数．
解：∵DE∥BC(已知)，
∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)，
∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
即∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°.
又∵DF∥AB(已知)，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∴∠3＝115°(等量代换)．
探索新知
总 结
1．求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系．
2．两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数．
探索新知
4.定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
（1）已知：如图，b//a，c//a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，
c被直线d截出的同位角.
求证：b//c.
证明：∵b//a (已知），
∴∠2=∠1(两直线平行，同位角相等）.
∵c//a（已知）,
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2 = ∠ 3（等量代换）.
∴b//c（同位角相等，两直线平行）.
探索新知
一般地，我们有如下的定理：
定理 平行于同一条直线的两条直线平行.
归 纳
典题精讲
1 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD为(　　)
A．20° B．30°
C．40° D．70°
2 如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝(　　)
A．120° B．130°
C．140° D．150°
B
C
探索新知
2
知识点
平行线的性质与判定的关系
平行线的判定与平行线的性质的区别：
①平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位 置关系得到两角的数量关系；
②平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件．
探索新知
例4 如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与∠Q一定相等吗？说说你的理由．
导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，所以要判断∠P与∠Q是否相等，只需判断PB和CQ是否平行．要说明PB∥CQ，可以通过说明∠PBC＝∠BCQ来实现，由于∠1＝∠2，只需说明∠ABC＝∠BCD即可．
解：∠P＝∠Q.
理由：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，
∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
探索新知
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，
即∠PBC＝∠BCQ.
∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．
∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．
探索新知
总 结
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题．
典题精讲
1 如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为(　　)
A．55° B．60°
C．70° D．75°
2 如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等 于(　　)
A．60° B．50°
C．45° D．30°
A
A
学以致用
小试牛刀
1.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为(　　)
A．50°
B．40°
C．30°
D．25°
B
小试牛刀
2.如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝ (　　)
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
B
小试牛刀
3.如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝90°，则∠3的度数为(　　)
A．40°
B．50°
C．150°
D．140°
D
小试牛刀
4.如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
D
小试牛刀
5.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为(　　)
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
D
小试牛刀
6.如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
解：
∵∠AEC＝42°，∠AEC＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°－∠AEC＝138°.
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF＝ ∠AED＝69°.
又∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠DEF＝69°.
小试牛刀
7.如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3.AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．
解：
AD是∠BAC的平分线．理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AD.
∴∠3＝∠1，∠E＝∠2.
又∵∠E＝∠3，
∴∠1＝∠2，
即AD是∠BAC的平分线．
小试牛刀
8.直线AB∥CD，点P是直线AB，CD外的任意一点，连接PA，PC.
(1)探究猜想：
①如图①，若∠A＝30°，∠C＝40°，则∠APC＝________°；
②如图①，若∠A＝40°，∠C＝60°，则∠APC＝________°；
70
100
小试牛刀
解：
③∠APC＝∠A＋∠C.理由如下：
过P点向左侧作PE∥AB，则∠APE＝∠A，
∵AB∥CD，∴PE∥CD，
∴∠CPE＝∠C.
又∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC＝∠A＋∠C.
③猜想图①中∠A，∠C，∠APC三者之间有怎样的等量关系？并说明理由．
小试牛刀
(2)拓展：
①如图②，若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠APC
＝________°；
②猜想图③中∠A，∠C，∠APC三者之间的关系
为____________________．
30
∠APC＝∠A－∠C
课堂小结
课堂小结
从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：条件
定义、判定
定义、性质
图形
结论．
同学们，
下节课见！
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