北师大版（新）八上-1.1 探索勾股定理 第一课时【优质课件】

(共35张PPT)
1.1 探索勾股定理
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？
情景导入
A、B、C的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
新课精讲
探索新知
1
知识点
勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　
弦
股
勾
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(1)观察图2-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
9
9
9
18
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
=18(单位面积)
S正方形c
探索新知
A
B
C
A
B
C
(图中每个小方格代表一个单位面积)
图2-1
图2-2
(2)在图2-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
(3)你能发现图2-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
探索新知
A
B
C
a
c
b
SA+SB=SC
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
探索新知
┏
a2+b2=c2
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
股
弦
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
探索新知
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，则a2＋b2＝c2.
探索新知
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，求AC的长．
解：由题意易知，AC 2＋BC 2＝AB 2，
所以AC 2＝AB 2－BC 2＝102－82＝36.
所以AC＝6 cm.
探索新知
总 结
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：
一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；
二代：代入a2＋b2＝c2；三化简．
典题精讲
1 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
典题精讲
2 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　)
A．5
B．6
C．7
D．25
A
探索新知
例2 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝ π， S2 ＝2π，则S3＝________．
2
知识点
勾股定理与图形的面积
探索新知
导引：如图，由圆的面积公式得
所以c2＝25，a2＝16.
根据勾股定理，得
b2＝c2－a2＝9.
所以
探索新知
总 结
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．
典题精讲
1 如图，字母B所代表的正方形的面积是(　　)
A．12 B．13
C．144 D．194
C
典题精讲
2
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　　)
A．16 B．12 C．9 D．7
D
学以致用
小试牛刀
1．直角三角形____________________等于_____________．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________．
两直角边的平方和
斜边的平方
a2＋b2＝c2
2．勾股定理通常是用________法来验证的，因此很多涉及直角三角形的图形面积问题，通常用___________来解决．
面积
勾股定理
3．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2＋BC2的值为(　　)
A．18 B．9 C．6 D．无法计算
A
小试牛刀
4．我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．
10
小试牛刀
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
C
小试牛刀
6．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　　)
A．48 B．60
C．76 D．80
C
小试牛刀
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(　　)
A．2π B．4π
C．8π D．16π
A
小试牛刀
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形ABCD的面积．
解：如图，连接AC
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ACD都是直角三角形．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，
则AC＝25.
小试牛刀
在Rt△ACD中，根据勾股定理，
得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，
则AD＝24.
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ AB BC＋
AD CD＝ ×20×15＋ ×24×7＝234(m2)
小试牛刀
9．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
【思路点拨】倍长中线BD，说明2BD
等于△ABC中BC边上的高．
解：
(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，
∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得DB＝3.
小试牛刀
(2)如图，延长BD至E，使DE＝DB，连接AE.
∵D是AC边的中点，
∴AD＝CD.
9．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
在△EDA和△BDC中，AD＝CD，∠ADE＝∠CDB，DE＝DB，
∴△EDA≌△BDC(SAS)．
∴∠DAE＝∠DCB. AE∥BC.
∵DB⊥BC，
∴△ABC中BC边上的高的长等于BE的长．
易知BE＝2BD＝6，∴BC边上的高的长为6.
课堂小结
课堂小结
1. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角
三角形三边关系．
2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些
变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2
＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）