第1课时 相似三角形中特殊线段的性质
命题点 1 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比
1.若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为3∶2,则它们对应高的比为 ( )
A.3∶2 B.3∶5 C.9∶4 D.4∶9
2.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF对应中线的比为 ( )
A.2∶3 B.4∶9 C.3∶2 D.9∶4
3.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3∶1,则对应角平分线之比为 ( )
A.9∶1 B.6∶1 C.3∶1 D.∶1
4.如是一个由边长均为1的小正方形组成的网格,△ABC与△A1B1C1都是格点三角形(顶点在网格交点处),并且△ABC∽△A1B1C1,则△ABC与△A1B1C1的对应高的比是 .
5.已知Rt△ABC∽Rt△A1B1C1且相似比为3∶4,若Rt△ABC的最长边长为12 cm,则Rt△A1B1C1的最长边上的中线长为 cm.
命题点 2 利用相似三角形的性质计算
6.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC边上一点,∠CBD=∠A,E,F分别是AB,BD的中点.若AB=5,AC=4,则CF∶CE= .
7.如图在矩形ABCD中,BE⊥AC,BE与AC,AD分别交于点F,E.若AD=1,AB=CF,则AE= .
8.如图在 ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求∠ADE的度数.
命题点 3 利用相似三角形的性质解决实际问题
9.如图放映幻灯片时,通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20 cm,到屏幕的距离为60 cm,且幻灯片中的图形的高度为6 cm,则屏幕上图形的高度为
( )
A.6 cm B.12 cm C.18 cm D.24 cm
10.在长、宽都为4 m,高为4 m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡,为了集中光线,加上了灯罩,示意图如图所示(BC∥HI).已知灯罩深8 cm,灯泡的位置A离地面3 m,为了使光线能照在墙壁上的1 m高处(HI为地面的长),则灯罩的直径BC应为多少
11.一块直角三角形(∠B=90°)木板的一条直角边AB为1.5 m,面积为1.5 m2,要把它加工成一个正方形桌面,小明打算按①所示方式进行加工,小华准备按图②所示方式进行加工,他们中谁的加工方案得到的桌面面积大
12.如①所示,在△ABC中,O是AC上一点,过点O的直线与AB交于点M,与BC的延长线交于N.
【问题引入】
(1)若O是AC的中点,=,求的值;
(温馨提示:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G)
【探索研究】
(2)若O是AC上任意一点(不与点A,C重合),求证:··=1;
【拓展应用】
(3)如图②所示,P是△ABC内任意一点,射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,E,F.若=,=,求的值.
答案
第1课时 相似三角形中特殊线段的性质
1.A 2.A 3.C
4.∶1 由题图可知AC=,A1C1=1,∴△ABC与△A1B1C1的相似比是∶1.
∴△ABC与△A1B1C1的对应高的比是∶1.
5.8 设Rt△A1B1C1的最长边的长为x cm.
∵Rt△ABC∽Rt△A1B1C1且相似比为3∶4,
∴12∶x=3∶4,解得x=16.
则Rt△A1B1C1最长边上的中线长为8 cm.
6.3∶4 ∵∠BCD=∠ACB,∠CBD=∠A,
∴△BDC∽△ABC.
∴CF∶CE=BC∶AC.
∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,∴BC=3.
∴CF∶CE=3∶4.
7. ∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=1,∠EAB=∠ABC=90°.
∴∠ABE+∠CBF=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠BFC=90°.
∴∠FCB+∠CBF=90°.
∴∠ABE=∠FCB.
在△ABE和△FCB中,
∵∠EAB=∠BFC=90°,AB=FC,∠ABE=∠FCB,
∴△ABE≌△FCB.
∴AE=BF,BE=BC=1.
∵BE⊥AC,∴∠BAF+∠ABF=90°.
又∵∠ABF+∠AEB=90°,∴∠BAF=∠AEB.
又∵∠BAE=∠AFB=90°,∴△ABE∽△FBA.
∴=.∴=.
∴AE=AB2.
在Rt△ABE中,BE=1,根据勾股定理,得AB2+AE2=BE2=1,∴AE+AE2=1.
∵AE>0,∴AE=.
8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠B+∠DCE=180°,∠ADF=∠DEC.
∵∠B=∠AFE,∠AFD+∠AFE=180°,
∴∠AFD=∠DCE.
∴△ADF∽△DEC.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD=AB,AD∥BC.
∵AE⊥BC,∴AE⊥AD.
∵△ADF∽△DEC,
∴=,即=.∴DE=12.
∵在Rt△ADE中,AE2=DE2-AD2,
∴AE=6.∴AE=DE.
∴∠ADE=30°.
9.C 示意图如图.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△AED∽△ACB.
∴=.
设屏幕上的图形的高是x cm,则=,
解得x=18.故选C.
10.解:如图,连接DE,过点A作AG⊥DE于点G,交BC于点F.
由题意可知BC∥DE,
∴AF⊥BC,∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED.
∴△ABC∽△ADE.
∴=.
∵房间的长、宽都为4 m,高为4 m,
∴=.
∴BC=0.16(m).
答:灯罩的直径BC应为0.16 m.
11. 利用相似三角形的性质分别求出两种加工方案中的正方形的边长即可.
解:∵×1.5BC=1.5,
∴BC=2(m).
小明的方案中:
设正方形BFED的边长为x m,
则CD=(2-x)m.
由题意,得∠CDE=∠B.
又∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBA.
∴=,即=,解得x=.
小华的方案中:
设正方形DEFG的边长为y m,如图,过点B作AC边上的高BH,交DE于点M,则BM⊥DE.由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,
∴AC==2.5(m).
由AC·BH=AB·BC,
得BH===1.2(m).
∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠BED=∠C.
∴△BDE∽△BAC.
∴=,即=,解得y=.
∵x>y>0,∴x2>y2.
∴小明的加工方案得到的桌面面积大.
12.解:(1)过点A作AG∥MN交BN的延长线于点G,∴=,=.
∵O为AC的中点,∴AO=CO.∴NG=CN.
∴===.
(2)证明:由(1)知=,=,
∴··=··=1.
(3)在△ABD中,P是AD上的一点,过点P的直线与AB交于点F,与BD的延长线交于点C,
由(2)得··=1.
在△ACD中,P是AD上一点,过点P的直线与AC交于点E,与CD的延长线交于点B,
由(2)得··=1.
∴··=··.
∴=··=·=×=.第2课时 相似三角形周长和面积的性质
命题点 1 相似三角形周长的比等于相似比
1.如图在平行四边形ABCD中,点E在边CD上,AC与BE相交于点F.若DE∶CE=1∶2,则△CEF与△ABF的周长比为 ( )
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.4∶9
2.(2020铜仁)已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为
( )
A.3 B.2 C.4 D.5
3.如图已知在△ABC中,AB=3AE,BE,CF分别是AC,AB边上的高,连接EF,那么△AEF和△ABC的周长比为 ( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
命题点 2 相似三角形面积的比等于相似比的平方
4.如图在平行四边形ABCD中,E是DC上的点,DE∶EC=3∶2,连接AE交BD于点F,则△DEF与△BAF的面积之比为 ( )
A.2∶5 B.3∶5 C.9∶25 D.4∶25
5.如图在△ABD中,EF∥BD交AB于点E,交AD于点F,AC交EF于点G,交BD于点C,S△AEG=S四边形EBCG,则的值为 ( )
A. B. C. D.
6.如图在△ABC中,D,E分别是AB,BC上的点,且DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE=1∶4,则S△BDE∶S△ADC等于 ( )
A.1∶16 B.1∶18 C.1∶20 D.1∶24
7.(2021镇江)如图点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若=,则= .
8.如图某校准备用资1600元,在一块上、下两底分别为10米、20米的梯形空地ABCD上种植花木,AD∥BC.
(1)如果在△AMD和△CMB中种植太阳花,单价为8元/米2,将△AMD种满花,共花了160元,请计算种满△CMB所需的费用;
(2)如果其余空地上要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/米2和10元/米2,应选择哪种花木,刚好用完准备的1600元资金
命题点 3 相似多边形周长的比等于相似比,相似多边形面积的比等于相似比的平方
9.如图菱形ABCD的对角线AC=4 cm,把它沿着对角线AC方向平移1 cm,得到菱形EFGH,则图中阴影部分的面积与四边形ENCM的面积之比为 ( )
A.4∶3 B.3∶2 C.14∶9 D.17∶9
10.如图顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3……按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为 .
11.如图在△ABC中,AB=AC=a,BC=10,动点P沿CA方向从点C向点A运动,同时,动点Q沿CB方向从点C向点B运动,速度都为每秒1个单位长度,P,Q中任意一点到达终点时,另一点也随之停止运动.过点P作PD∥BC,交AB边于点D,连接DQ.设点P,Q的运动时间为t秒.
(1)直接写出BD的长(用含t的代数式表示).
(2)若a=15,则当t为何值时,△ADP与△BDQ相似
(3)是否存在某个a的值,使点P,Q在运动过程中,存在S△BDQ∶S△ADP∶S四边形CPDQ=1∶4∶4的时刻 若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案
第2课时 相似三角形周长和面积的性质
1.C ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,CD=AB.
∴∠CEF=∠ABF,∠ECF=∠BAF.
∴△CEF∽△ABF.
∵DE∶EC=1∶2,
∴CE∶AB=EC∶DC=2∶3.
∴C△CEF∶C△ABF=2∶3.
2.A ∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15,
∴△FHB和△EAD的周长比为2∶1.
∵△FHB∽△EAD,
∴=2,即=2,
解得EA=3.
故选A.
3.B ∵BE,CF分别是AC,AB边上的高,
∴∠AEB=∠AFC=90°.
又∵∠A=∠A,∴△AEB∽△AFC.
∴=.∴=.
又∵∠A=∠A,∴△AEF∽△ABC.
∴△AEF与△ABC的周长比=AE∶AB.
∵AB=3AE,∴=.
∴△AEF与△ABC的周长比=AE∶AB=1∶3.
故选B.
4.C ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,且AB=CD.
∴∠EDF=∠ABF,∠DEF=∠BAF.
∴△DEF∽△BAF.
∵DE∶EC=3∶2,∴==.
∴=2=.故选C.
5.D ∵S△AEG=S四边形EBCG,
∴S△AEG=S△ABC.
∵EF∥BD,
∴∠AEG=∠B,∠AGE=∠ACB.
∴△AEG∽△ABC.∴==.∴=.∵EF∥BD,
∴==.故选D.
6.C
7. ∵M,N分别是DE,BC的中点,
∴AM,AN分别为△ADE,△ABC的中线.
∵△ADE∽△ABC,∴==,
∴=2=.
8.解:(1)∵AD∥BC,
∴∠DAM=∠BCM,∠ADM=∠CBM.
∴△AMD∽△CMB.
∴=2=.
∵种满△AMD需160元,
∴种满△CMB需640元.
(2)设选择花木的单价为x元/米2.
由△AMD与△CMB的相似比为1∶2,可知DM∶BM=AM∶MC=1∶2,
∴S△ABM=S△DCM=2S△ADM.
由题意,得160+640+2××2x=1600,
解得x=10,∴应选择茉莉花.
9.C 由菱形ENCM∽菱形ABCD,相似比CE∶CA=3∶4,知这两个菱形的面积比等于9∶16,于是菱形ABCD中阴影部分的面积∶菱形ENCM的面积=7∶9,即图中阴影部分的面积与四边形ENCM的面积之比为14∶9.故选C.
10.
11.解:(1)BD=t.
(2)∵PD∥BC,
∴∠ADP=∠B,∠APD=∠C.
∴△ADP∽△ABC.
∴=.
∵AC=15,BC=10,CP=t,
∴PD=10-t.
∵△ADP和△BDQ相似,
∴=或=.∴=或=,
解得t1=4,t2=15(舍去),t3=15(舍去),t4=6.
∴当t的值为4或6时,△ADP与△BDQ相似.
(3)存在.假设存在一个a值,使S△BDQ∶S△ADP∶S四边形CPDQ=1∶4∶4,
即==,==.
由(2)知,△ADP∽△ABC,则相似比是,
∴=.
设四边形CPDQ的边CQ上的高是h,则△BDQ的边BQ上的高是h,△ABC的边BC上的高是3h,
∴BQ·h=×BC·3h,
即10-t=×3×10,∴t=.
∵AP=a-t=a-,AC=a,∴=,解得a=20.
∴存在某个a的值,使点P,Q在运动过程中,存在S△BDQ∶S△ADP∶S四边形CPDQ=1∶4∶4的时刻,a的值是20.
