第2课时 反比例函数的性质
命题点 1 反比例函数的性质
1.(2021山西)已知反比例函数y=,则下列描述不正确的是 ( )
A.图象位于第一、三象限
B.图象必经过点4,
C.图象不可能与坐标轴相交
D.y随x的增大而减小
2.如果反比例函数y=(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是 ( )
A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2
3.已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在双曲线y=上,则下列说法中,正确的是 ( )
A.若x1>x2,则y1>y2 B.若x1>x2,则y1C.若x1>x2>0,则y1>y2 D.若x1>x2>0,则y14.(2021陕西)若A(1,y1),B(3,y2)是反比例函数y=m<图象上的两点,则y1,y2的大小关系是y1 y2.(填“>”“=”或“<”)
5.如图△OPQ是边长为的等边三角形,反比例函数y=的图象过点P.
(1)求点P的坐标和k的值;
(2)若在这个反比例函数的图象上有两个点(x1,y1),(x2,y2),且x16.如图在平面直角坐标系中,将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A,过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B,AB=.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且x1y2,指出点P,Q各位于哪个象限,并简要说明理由.
命题点 2 反比例函数的比例系数k的几何意义
7.如图矩形OABC的面积为24,它的对角线OB与双曲线y=相交于点D,且D为OB的中点,则k的值为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
8.如图在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C的坐标分别是(0,3),(3,0),∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=(k>0,x>0)的图象经过点B,则k的值为 ( )
A. B.9 C. D.
9.(2021河南)如图大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,反比例函数y=的图象与大正方形的一边交于点A(1,2),且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求图中阴影部分的面积.
10.如图A(2,n)和D是反比例函数y=(m>0,x>0)图象上的两点,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C,过点D作DE⊥x轴,垂足为E,连接OA,OD.已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB∶S△ODE=3∶4.
(1)S△OAB= ,m= ;
(2)已知点P(6,0)在线段OE上,当∠PDE=∠CBO时,求点D的坐标.
答案
第2课时 反比例函数的性质
1.D ∵k=6>0,
∴图象位于第一、三象限,
故A项正确,不符合题意;
∵4×=6=k,∴图象必经过点4,,
故B项正确,不符合题意;
∵x≠0,y≠0,
∴图象不可能与坐标轴相交,
故C项正确,不符合题意;
∵k=6>0,
∴在每一个象限内,y随x的增大而减小,
故D项错误,符合题意.
故选D.
2.D
3.D ∵k=3>0,∴该函数图象经过第一、三象限,且在每一象限内,y随x的增大而减小.
∴若x1>x2>0,则y14.< ∵m<,∴2m-1<0,
∴图象位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
又∵0<1<3,∴y1故答案为<.
5.解:(1)∵△OPQ是边长为的等边三角形,
∴点P的坐标为,.
∵反比例函数y=的图象过点P,
∴=.解得k=.
(2)∵k=>0,在这个反比例函数的图象上有两个点(x1,y1),(x2,y2),且x1∴y1>y2.
6.解:(1)由题意得B-2,,
把B-2,代入y=,得k=-3,
∴反比例函数的表达式为y=-.
(2)点P在第二象限,点Q在第四象限.
理由:∵k=-3<0,∴反比例函数y=的图象在每个象限内,y随x的增大而增大.
∵P(x1,y1),Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且当x1y2,
∴P,Q两点在不同的象限.
∴点P在第二象限,点Q在第四象限.
7.B 过点D作DH⊥OA于点H,如图.
∵D为OB的中点,易得DH为三角形OBA的中位线.
∴OH=OA,DH=AB.
∴S△ODH=OH·DH=OA·AB.
∵矩形OABC的面积为24,
∴S△ODH=×24=3.
∵|k|=3,且k>0,∴k=6.
故选B.
8.D 过点B作BD⊥x轴,垂足为D,如图所示.
∵A,C的坐标分别是(0,3),(3,0),
∴OA=OC=3.
∴∠OAC=∠OCA=45°.
在Rt△AOC中,AC==3.
∵AC=2BC,
∴BC=.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠CBD=45°.
∴CD=BD=×=.
∴OD=3+=.
∴B,.
将点B的坐标代入y=,得k=.
9.解:(1)∵反比例函数y=的图象经过点A(1,2),
∴2=,∴k=2,
∴反比例函数的表达式为y=.
(2)∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,
∴设点B的坐标为(m,m).
∵反比例函数y=的图象经过点B,
∴m=,
∴m2=2,
∴小正方形的面积为4m2=8.
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,且A(1,2),
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2,2),
∴大正方形的面积为4×22=16,
∴图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=16-8=8.
10.解:(1)3 8 ∵一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A,与y轴交于点B,
∴B(0,3),OB=3.
∵点A(2,n),
∴|xA|=2.
∴S△AOB=·OB·|xA|=×3×2=3.
∵S△OAB∶S△ODE=3∶4,
∴S△ODE=4.
∵DE⊥x轴,且点D在双曲线y=上,
∴|m|=4.
∵m>0,∴m=8.
(2)如图,连接PD.
∵点A(2,n)在双曲线y=上,
∴2n=8,n=4,A(2,4).
∵一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A,
∴4=2k+3.
∴k=.∴直线AB的表达式为y=x+3.
∵∠PDE=∠CBO,∠PED=∠COB=90°,
∴∠DPE=∠BCO.
∴PD∥AB.
∴设直线PD的表达式为y=x+t.
则0=×6+t.
∴t=-3.∴直线PD的表达式为y=x-3.
由解得
∵点D在第一象限,
∴D(8,1). 第1课时 反比例函数的图象
命题点 1 反比例函数的图象
1.在平面直角坐标系中,下列函数的图象与坐标轴不相交的是 ( )
A.y=x+1 B.y= C.y= D.y=-3x
2.如图双曲线y=的一个分支为( )
A.① B.② C.③ D.④
3.在平面直角坐标系中,反比例函数y=的图象的两个分支分别在 ( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、二象限 D.第三、四象限
4.已知反比例函数y=的图象如图则k的值可以为 (写出满足条件的一个k值即可).
命题点 2 反比例函数图象上的点的坐标
5.点(2,-4)在反比例函数y=的图象上,则下列各点在此函数图象上的是 ( )
A.(2,4) B) C) D.(4,-2)
6.(2021陕西)若点A(a,3),B(5a,b)在同一个反比例函数的图象上,则b的值为 .
命题点 3 反比例函数图象的对称性
7.下列对于反比例函数y=-的图象的对称性叙述错误的是 ( )
A.关于原点中心对称 B.关于直线y=x对称
C.关于直线y=-x对称 D.关于x轴对称
8.反比例函数y=的图象与经过原点的直线l相交于A,B两点,点A的坐标为(-2,1),那么点B的坐标为 ( )
A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,-2) D.(2,-1)
9.在同一平面直角坐标系内,反比例函数y=的图象与反比例函数y=的图象具有以下对称性:既关于x轴成轴对称,又关于y轴成轴对称.那么k的值是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
10.如图边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴,反比例函数y=与y=-的图象均与正方形ABCD的边相交,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
命题点 4 反比例函数与一次函数的图象
11.(2021本溪)反比例函数y=的图象分别位于第二、四象限,则直线y=kx+k不经过的象限是
( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12.反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=kx+b的图象可能是 ( )
13.如图过点A(4,5)分别作x轴、y轴的平行线,交直线y=-x+6于B,C两点,若函数y=(x>0)的图象与△ABC的边有公共点,则k的取值范围是 ( )
A.5≤k≤20 B.8≤k≤20 C.5≤k≤8 D.9≤k≤20
14.函数y=的图象是 ( )
15.已知△ABC的三个顶点分别为),B(-1,3),),将△ABC向右平移m(m>0)个单位长度后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上,则m的值为 .
16.如图A,B两点在函数y=(x>0)的图象上.
(1)求m的值及直线AB的表达式;
(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数.
答案
2 第1课时 反比例函数的图象
1.B 函数y=中自变量的取值范围是x≠0,则y≠0,所以该函数的图象与坐标轴没有交点.故选B.
2.D ∵在y=中,k=8>0,∴双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,排除①②;又当x=2时,y=4,排除③,∴双曲线的一个分支应该是④.故选D.
3.A ∵a2-2a+2=(a-1)2+1>0,∴该函数的图象的两个分支分别在第一、三象限.故选A.
4.答案不唯一,大于-2的实数都可以,如-1,0等
根据题意可得反比例函数y=的图象在第一、三象限,所以k+2>0,解得k>-2.
故k的值可为大于-2的任意实数,答案不唯一.
5.D ∵点(2,-4)在反比例函数y=的图象上,∴-4=.解得k=-8.∴y=-.
∴xy=-8.而2×4=8,(-1)×(-8)=8,(-2)×(-4)=8,4×(-2)=-8,故选项A,B,C均不符合题意,选项D符合题意.
故选D.
6. ∵点A(a,3),B(5a,b)在同一个反比例函数的图象上,
∴3a=5ab.
∵a≠0,∴b=.
故答案为.
7.D ∵双曲线y=-的两个分支分别在第二、四象限,两个分支关于原点中心对称,关于直线y=x轴对称,故A,B选项正确;此双曲线的每一个分支关于直线y=-x轴对称,故C选项正确.
故选D.
8.D ∵点A(-2,1)与点B关于原点对称,
∴点B的坐标为(2,-1).故选D.
9.C ∵反比例函数y=的图象与反比例函数y=的图象既关于x轴成轴对称,又关于y轴成轴对称,∴k+1+k-3=0.解得k=1.故选C.
10.D ∵反比例函数y=与y=-的图象关于x轴成轴对称,正方形ABCD是轴对称图形,x轴是其对称轴,所以阴影部分的面积是4×4÷2=8.故选D.
11.A ∵反比例函数y=的图象分别位于第二、四象限,
∴k<0,
∴一次函数y=kx+k的图象经过第二、三、四象限,即不经过第一象限.
故选A.
12.D ∵反比例函数y=的图象经过第一、三象限,∴kb>0.∴k,b同号.
A项,图象过第二、四象限,则k<0,图象与y轴交于正半轴,则b>0,此时,k,b异号;
B项,图象过第二、四象限,则k<0,图象经过原点,则b=0,此时,kb=0;
C项,图象过第一、三象限,则k>0,图象与y轴交于负半轴,则b<0,此时,k,b异号;
D项,图象过第一、三象限,则k>0,图象与y轴交于正半轴,则b>0,此时,k,b同号.
故选D.
13.A ∵过点A(4,5)分别作x轴、y轴的平行线,交直线y=-x+6于B,C两点,
∴点B的纵坐标为5,点C的横坐标为4.
将y=5代入y=-x+6,得x=1;将x=4代入y=-x+6,得y=2.
∴点B的坐标为(1,5),点C的坐标为(4,2).
∵函数y=(x>0)的图象与△ABC的边有公共点,点A(4,5),点B(1,5),
∴1×5≤k≤4×5,即5≤k≤20.
故选A.
14.B ∵函数y=中不论x为何值,y均大于0,∴选项A,C,D错误,B正确.故选B.
15.4或 ∵△ABC的三个顶点分别为),B(-1,3),),∴AB边的中点为(-1,1),BC边的中点为(-2,0),AC边的中点).∵将△ABC向右平移m(m>0)个单位长度,∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m,1),AC边的中点平移后的坐标为(-2+m,-2).
∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上,∴-1+m=3或-2×(-2+m)=3.
∴m=4或m=.
16.解:(1)由图象可知,函数y=(x>0)的图象经过点A(1,6),∴6=.
解得m=6.
设直线AB的表达式为y=kx+b.
∵A(1,6),B(6,1)两点在函数y=kx+b的图象上,
∴ 解得
∴直线AB的表达式为y=-x+7.
(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点有(2,4),(3,3),(4,2),共3个.
