第2课时 位似变换的坐标变化规律
命题点 1 位似图形的顶点坐标变化规律及求值
1.如图平面直角坐标系中有一条“鱼”,它有六个顶点,则 ( )
A.将各点横坐标乘2,纵坐标不变,得到的“鱼”与原来的“鱼”位似
B.将各点纵坐标乘2,横坐标不变,得到的“鱼”与原来的“鱼”位似
C.将各点横、纵坐标都乘2,得到的“鱼”与原来的“鱼”位似
D.将各点横坐标乘2,纵坐标乘,得到的“鱼”与原来的“鱼”位似
2.如图已知△A1OB1与△A2OB2位似,且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1∶2,点A1的坐标为(-1,2),则点A2的坐标为 ( )
A.(1,-4) B.(2,-4) C.(-4,2) D.(-,1)
3.如图在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上.若正方形BEFG的边长为6,则点C的坐标为
( )
A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2)
4.如图在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6),),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A'的坐标是 ( )
A.(-1,2) B.(-9,18)
C.(-9,18)或(9,-18) D.(-1,2)或(1,-2)
5.如图在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心.若AB=1.5,则DE= .
命题点 2 求位似中心的坐标
6.(2021嘉兴)如图在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是 .
7.如图在平面直角坐标系中,点A,B,E,D,F的坐标分别是(4,3),(4,0),(5,0),
(13,6),(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到的,求位似中心的坐标.
命题点 3 与位似有关的作图、计算与应用
8.(2021重庆)如图在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若B(0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的相似比是 ( )
A.2∶1 B.1∶2 C.3∶1 D.1∶3
9.已知:如图△ABC在平面直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且它们的周长比为2∶1;
(3)求△A2B2C2的面积.
10.如图点A的坐标为(3,4),点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(4,0).
(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位长度后得到△A1O1B1,则点A1的坐标为 ,△A1O1B1的面积为 ;
(2)将△AOB绕原点旋转180°后得到△A2OB2,则点A2的坐标为 ;
(3)将△AOB沿x轴翻折后得到△A3OB3,则点A3的坐标为 ;
(4)以点O为位似中心,按相似比为2∶1将△AOB扩大后得到△A4OB4,若点B4在x轴的正半轴上,则点A4的坐标为 ,△A4OB4的面积为 .
答案
第2课时 位似变换的坐标变化规律
1.C
2.B ∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1∶2,∴△A1OB1与△A2OB2的相似比为1∶2.
而点A1的坐标为(-1,2),∴点A2的坐标为(2,-4).故选B.
3.A ∵正方形BEFG的边长是6,
∴BE=EF=6.
∵两正方形的相似比为1∶3,
∴==.
∴AB=BC=CD=AD=2.
根据位似图形的性质可知=,即=,∴OB=3.∴点C的坐标为(3,2).故选A.
4.D ∵点A(-3,6),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,∴点A的对应点A'的坐标是(-1,2)或(1,-2).故选D.
5.4.5 6.(4,2)
7.解:如图,连接DA,并延长交x轴于点P,则点P为位似中心.
∵A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到的,
∴位似比为=.
则=,即=,解得PO=5.
故位似中心P的坐标为(-5,0).
8.D
9.解:(1)△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1如图所示.
(2)∵△A2B2C2与△ABC位似,且它们的周长比为2∶1,∴它们的相似比为2∶1.
如图所示的△A2B2C2即为所求.
(3)连接AC2,则AC2=AA2=AB=,AC2⊥AB,
∴△A2B2C2的面积=×2×=10.
10.(1)(2,4) 8 (2)
(3)(3,-4) (4)(6,8) 32
(1)根据平移的性质,图形向左平移1个单位长度即各点横坐标减1,纵坐标不变,即可得出点A1的坐标,根据平移前后三角形的面积不变即可得出△A1O1B1的面积;
(2)根据旋转的性质,将△AOB绕原点旋转180°后,对应点的横、纵坐标均变为原来的相反数,即可得出答案;
(3)利用轴对称的性质以及点的坐标特征即可得出答案;
(4)按相似比为2∶1将△AOB放大得到△A4OB4,若点B4在x轴的正半轴上,则△AOB和△A4OB4在位似中心O的同侧,故对应点的横、纵坐标均变为原来点的横、纵坐标的2倍.利用相似三角形的性质“面积比等于相似比的平方”得出答案即可. 第1课时 位似图形及其性质
命题点 1 位似图形的概念
1.下列五组图案中,是位似图形的有 ( )
A.2组 B.3组 C.4组 D.5组
2.关于位似图形的4个表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F,G,H分别是线段OA,OB,OC,OD的中点,那么 ABCD与四边形EFGH是不是位似图形 为什么
命题点 2 位似图形的周长比等于相似比,位似图形的面积比等于相似比的平方
4.(2021沈阳)如图△ABC与△A1B1C1位似,位似中心是点O,若OA∶OA1=1∶2,则△ABC与△A1B1C1的周长比是 ( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶
5.(2020重庆)如图△ABC与△DEF位似,点O为位似中心.已知OA∶OD=1∶2,则△ABC与△DEF的面积比为 ( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5
6.如果将一个三角形绕着它一个角的顶点顺时针旋转后使这个角的一边与另一边在一条直线上,再将旋转后的三角形相似缩放,使重叠的两边互相重合,我们称这样的图形变换为三角形转似,这个角的顶点称为转似中心,所得三角形称为原三角形的转似三角形.如图所示,在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=4,△A1B1C是△ABC以点C为转似中心的第一个转似三角形,此时A1B1的长为 ;△AnBnC(点An,Bn分别与A,B对应)是△ABC以点C为转似中心的第n个转似三角形,那么边AnBn的长为 .
命题点 3 位似作
7.在如图所示的方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.
(1)画图:在方格纸中,以点O为位似中心,把△ABC缩小为原来的一半,得到△A'B'C';
(2)△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
8.“位似变化”是一种重要的几何变化,可以将图形放大或缩小,且与原图形相似.你能用“位似变化”解决下列问题吗
如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,矩形EFGH的一边EF在边AC上,点H在斜边AB上,EF=2,HE=1.
(1)请你用圆规和无刻度的直尺在Rt△ABC内作一个最大的矩形且与矩形EFGH位似(不要求写作法,但必须保留作图痕迹);
(2)求(1)中作出的最大矩形与矩形EFGH的面积之比.
9.如①,给定锐角三角形ABC,小明希望画正方形DEFG,使点D,E位于边BC上,点F,G分别位于边AC,AB上,他发现直接画图比较困难,于是他先画了一个正方形HIJK,使得点H,I位于射线BC上,点K位于射线BA上,而不要求点J必须位于AC上.这时他发现可以通过将正方形HIJK放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.
阅读以上材料,回答小明接下来研究的以下问题:
(1)如图②,给定锐角三角形ABC,画出所有长、宽比为2∶1的长方形DEFG,使点D,E位于边BC上,点F,G分别位于边AC,AB上;
(2)已知△ABC的面积为36,BC=12,在第(1)问的条件下,求长方形DEFG的面积.
答案
第1课时 位似图形及其性质
1.C
2.A ②正确.故选A.
3.解:是.
理由:∵E,F分别是OA,OB的中点,
∴FE=AB,FE∥AB,==.
∵G,H分别是OC,OD的中点,
∴HG=CD,HG∥CD,==.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴FE=HG,FE∥HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵FE∥AB,∴∠OEF=∠OAB.
同理∠OEH=∠OAD,∴∠HEF=∠DAB.
同理,∠EFG=∠ABC,∠FGH=∠BCD,∠GHE=∠CDA.
易得====,
∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD.
又∵各组对应点的连线相交于点O,====,
∴ ABCD与四边形EFGH是位似图形,点O为位似中心.
4.A
5.C ∵△ABC与△DEF是位似图形,OA∶OD=1∶2,
∴△ABC与△DEF的相似比为1∶2.
∴△ABC与△DEF的面积比为1∶4.
故选C.
6. 5×n 如图.
∵△ABC∽△A1B1C,
∴=.
∴=.
∴A1B1=.
将△A1B1C绕点C顺时针旋转,再将△A1B1C缩小使B2C=A1C,则A2C=A1C,说明三角形所有的边长都缩小为原来的,所以A2B2=A1B1,依此类推,可知以点C为转似中心的第n个转似三角形AnBnC(点An,Bn分别与A,B对应)的边AnBn的长为5×n.
7.解:(1)利用三角形相似作图,连接OA,OB,OC,分别找出这三条线段的中点A',B',C',顺次连接A',B',C',即可得到△A'B'C'.如图所示.
(2)2∶1
8.解:(1)如图所示,四边形MNCD就是所求作的图形.
(2)=9.
9.解:(1)如图①与图②,长方形DEFG即为所求作的图形.
(2)在图①所示的长方形DEFG中,DE=2DG.如图③,作△ABC的高AM,交GF于点N,则AM⊥GF.
∵△ABC的面积=BC·AM=×12·AM=36,
∴AM=6.
设AN=x,则MN=6-x,DG=MN=6-x,DE=GF=2(6-x)=12-2x.
∵GF∥BC,
∴∠AGF=∠B,∠AFG=∠C.
∴△AGF∽△ABC.
∴=,即=,解得x=3.
∴DG=6-x=3,DE=2DG=6.
∴长方形DEFG的面积=6×3=18.
在图②所示的长方形DEFG中,DG=2DE,作△ABC的高AM,交GF于点N,则AM⊥GF.
同理求出AN=,
∴DG=6-AN=,DE=DG=.
∴长方形DEFG的面积=×=.
故长方形DEFG的面积为18或.
