北师大版数学九年级上册同步提优训练：第4章　图形的相似 单元综合提升卷（word版 含解析）

第四章综合提升卷
第Ⅰ卷　(选择题　共30分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组中的四条线段是成比例线段的是 (　　)
A.1 cm,2 cm,20 cm,40 cm
B.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
C.6 cm,4 cm,1 cm,3 cm
D.5 cm,10 cm,15 cm,20 cm
2.如图两条直线分别被三条平行直线l1,l2,l3所截,若AB=3,BC=6,DE=2,则DF的长为
(　　)
A.4 　　　　　　B.5 C.6 　　　　 D.7
3.若=,则的值是 (　　)
A. B. C. D.
4.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边的长为2.5 cm,则它的最长边的长为 (　　)
A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm
5.在平面直角坐标系中,△OAB各顶点的坐标分别为O(0,0),A(1,2),B(0,3),以点O为位似中心,作△OAB的位似图形,若点B的对应点的坐标为(0,-6),则点A的对应点的坐标为 (　　)
A) B) C) D.(1,-4)
6.如图已知矩形ABCD,AB=2,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F处,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD的长为 (　　)
A. B.+1 C.4 D.2
7.在小孔成像问题中,光线穿过小孔,在屏幕上形成倒立的实像,如图所示.若点O到AB的距离是18 cm,点O到CD的距离是6 cm,则像CD的长是AB长的 (　　)
A.3倍 B. C. D.不知AB的长度,故无法判断
8.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度,学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案,把一面很小的镜子水平放置在离树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=3.2米,观察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度为 (　　)
A.4.2米 B.4.8米 C.6.4米 D.16.8米
9.如图在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC于点F,连接DF,有下列4个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四边形CDEF=S△ABF.其中正确的结论有 (　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.如图在△ABC中,AB=6 cm,AC=12 cm,动点D从点A出发到点B停止,动点E从点C出发到点A停止.点D的运动速度为1 cm/s,点E的运动速度为2 cm/s.如果两点同时运动,那么当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是 (　　)
A.3 s或4.8 s B.3 s C.4.5 s D.4.5 s或4.8 s
请将选择题答案填入下表:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
答案
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,已知=,则=　　　　.
12.如图△ABC中,AB=6,DE∥AC,将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD'E',点D的对应点D'落在边BC上.已知BE'=5,D'C=4,则BC的长为　　　　.
13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木.”
用今天的话说,大意是:如(示意图),四边形DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上).请你计算KC的长为
　　　　步.
14.如图所示,Rt△DEF是由Rt△ABC沿BC方向平移得到的,若AB=8,BE=4,DH=3,则△HEC的面积为　　　　.
15.如图正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是　　　　.
16.如图直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,则点B的对应点B'的坐标为　　　　.
三、解答题(共72分)
17.(6分)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足==,a+b+c=12,试求a,b,c的值,并判断△ABC的形状.
18.(6分)从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的优美线.
(1)如图在△ABC中,AD为角平分线,∠B=50°,∠C=30°,求证:AD为△ABC的优美线;
(2)在△ABC中,∠B=46°,AD是△ABC的优美线,且△ABD是以AB为腰的等腰三角形,求∠BAC的度数.
19.(8分)已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC;
(2)若△PQB为等腰三角形,求AP的长.
20.(8分)如①,点D,E分别在AB,AC上,且=.
(1)求证:DE∥BC;
(2)如图②,在△ABC中,D为边AC上任意一点,连接BD,取BD的中点E,连接CE并延长交边AB于点F,求证:=;
(3)在(2)的条件下,若AB=AC,AF=CD,求的值.
21.(10分)如(示意图)是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔,是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品,并作为丝绸之路的一处重要遗址点,被列入《世界遗产名录》.小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度,由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量,因此经过研究需要进行两次测量,于是在阳光下,他们首先利用影长进行测量,方法如下:小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD,并测得此时木棒的影长DE=2.4米;然后,小希在BD的延长线上找出一点F,使得A,C,F三点在同一直线上,并测得DF=2.5米.已知图中所有点均在同一平面内,木棒高CD=1.72米,AB⊥BF,CD⊥BF.试根据以上测量数据,求小雁塔的高度AB.
22.(10分)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且==m,连接AE,过点D作DM⊥AE,垂足为M,延长DM交AB于点F.
(1)如(a),过点E作EH⊥AB于点H,连接DH.
①求证:四边形DHEC是平行四边形;
②若m=,求证:AE=DF.
(2)如图(b),若m=,求的值.
23.(12分)如图在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,D是BC边上的一个动点(不与点B,C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
24.(12分)如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B的度数为　　　　.
(2)如①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.则在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形” 若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.
答案
第四章综合提升卷
1.A
2.C　 ∵两条直线分别被三条平行直线l1,l2,l3所截,∴=.
∵AB=3,BC=6,DE=2,∴EF=4.∴DF=DE+EF=2+4=6.故选C.
3.C　4.C
5.A　 如图,点A'的坐标).故选A.
6.B　 由折叠知AF=AB=2.
设AD=x,则FD=x-2,EF=2.
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,
∴=,即=,解得x1=1+,x2=1-(不合题意,舍去),即AD的长为+1.故选B.
7.C　 过点O作OM⊥AB于点M,交CD于点N,如图,则OM=18 cm,ON=6 cm.
∵AB∥CD,∴∠OAB=∠ODC,∠OBA=∠OCD.∴△ODC∽△OAB.∴===,即CD的长是AB长的.故选C.
8.A　 如图,过点E作EF⊥BD于点E,则∠1=∠2.∵∠DEF=∠BEF=90°,∴∠DEC=∠AEB.∵CD⊥BD,AB⊥BD,∴∠CDE=∠ABE=90°.∴△CDE∽△ABE.∴=.
∵DE=3.2米,CD=1.6米,BE=8.4米,
∴=,解得AB=4.2(米).
9.A　 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∴∠EAC=∠ACB.
∵BE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵E是AD的中点,∴AE=AD=BC.
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴==,
∴CF=2AF,故②正确;
过点D作DM∥BE交AC于点N,交BC于点M.
又∵DE∥BM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=BC,
∴BM=CM,CN=NF.
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,∴DF=DC,故③正确;
∵△AEF∽△CBF,
∴==,
∴S△AEF=S△ABF,S△ABF=S矩形ABCD,
∴S△AEF=S矩形ABCD.
∵S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD,
∴S四边形CDEF=S△ABF,故④正确.
10.A　 本题运用分类讨论的思想,分△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB两种情况分别求解.
11.2　 ∵=,∴=2.
∵l1∥l2∥l3,∴==2.
12.2+　 由旋转可得BE=BE'=5,
BD=BD'.
∵D'C=4,∴BD'=BC-4,即BD=BC-4.
∵DE∥AC,∴=,即=.
解得BC=2+(负值已舍去),
即BC的长为2+.
13.　 ∵四边形DEFG是正方形,
∴DG∥KC.
∴∠AHD=∠AOC,∠ADH=∠ACO.
∴△AHD∽△AOC.
∴=,即=.
解得KC=.
故答案是.
14.　 设CE=x.
由△CEH∽△CBA,得=,即=.
解得x=.
∴S△HEC=××5=.
15.　 因为正方形ABCD中,AE=3ED,DF=CF,所以设正方形ABCD的边长为4a,则AE=3a,ED=a,DF=CF=2a.如图,延长BE,CD交于点M.因为AB∥CD,所以∠ABE=∠M.又∠AEB=∠DEM,所以△ABE∽△DME,可得MD=a.因为AB∥CD,所以∠ABG=∠FMG,∠BAG=∠MFG,所以△ABG∽△FMG,所以==.
16.(4,3))　 由直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,得点A(-2,0),点B(0,1).画△BOC的位似图形△B'O'C'如图所示.∵△BOC与△B'O'C'的相似比为1∶3,∴设点B'(x,3)或(x,-3).∵点B'(x,3)或(x,-3)在直线y=x+1上,∴点B'的坐标为(4,3)).
故答案为(4,3)).
17.解:设===k,
则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8.
∵a+b+c=12,
∴3k-4+2k-3+4k-8=12,
解得k=3.
∴a=5,b=3,c=4.
∵b2+c2=9+16=25,a2=52=25,
∴b2+c2=a2,
∴△ABC是直角三角形.
18.解:(1)证明:∵∠B=50°,∠C=30°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC=50°.
∴∠B=∠BAD=50°.
∴DB=DA.
∴△ABD是等腰三角形.
∵∠C=∠C,∠DAC=∠B=50°,
∴△CAD∽△CBA.
∴线段AD是△ABC的优美线.
(2)若AB=AD,△CAD∽△CBA,则∠B=∠ADB=∠CAD,则AC∥BC,这与△ABC这个条件矛盾;
若AB=BD,△CAD∽△CBA,
则∠BAD=∠BDA=67°,∠CAD=∠B=46°,
∴∠BAC=67°+46°=113°.
19.解:(1)证明:∵∠A+∠APQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠APQ=∠C.
又∵∠A=∠A,∴△AQP∽△ABC.
(2)在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理,得AC=5.
①若点P在线段AB上,
∵△PQB为等腰三角形,∴只能是PB=PQ.
由(1)可知△AQP∽△ABC,
∴=,
即=,解得PB=,
∴AP=AB-PB=3-=.
②若点P在线段AB的延长线上,
∵△PQB为等腰三角形,
∴只能是PB=BQ.∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,
∴∠AQB=∠A.∴BQ=AB.
∴AB=BP.
∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述,若△PQB为等腰三角形,则AP的长为或6.
20.解:(1)证明:∵∠A=∠A,=,
∴△ADE∽△ABC.∴∠ADE=∠B.
∴DE∥BC.
(2)证明:如图,过点D作DG∥AB交CF于点G,则∠CDG=∠CAF,∠CGD=∠CFA.
∴△CDG∽△CAF.∴=.
∵E是BD的中点,∴BE=ED.
∵DG∥AB,∴∠FBE=∠EDG.
在△BEF和△DEG中,∵∠FBE=∠EDG,BE=ED,∠FEB=∠GED,
∴△BEF≌△DEG(ASA).
∴BF=DG.∴=.
(3)由(2)可得=.
∵AB=AC,AF=CD,∴=.
∴BF2+BF·AF-AF2=0.
∴2+-1=0,解得=.
而>0,∴=.
21.解:由题意得∠ABD=∠CDE=90°,
∠ADB=∠CED,
∴△CDE∽△ABD.∴=.
∵由题意得∠CDF=∠ABF=90°,∠CFD=∠AFB,∴△CDF∽△ABF.∴=.
∴=,
即=,解得BD=60(米).
∴=,解得AB=43(米).
故小雁塔的高度AB是43米.
22.解:(1)证明:①∵∠B=∠B,∠BHE=∠BAC=90°,
∴△BHE∽△BAC,HE∥AC.
∴=.
∵=,∴=.
∴=.
∴HE=DC.
∴四边形DHEC是平行四边形.
②∵=,∠BAC=90°,∴AC=AB.
∵=,HE=DC,∴=.
又∠BHE=90°,∴BH=HE.
∵HE=DC,∴BH=DC.
∴AH=AD.
∵DM⊥AE,EH⊥AB,
∴∠EHA=∠AMF=90°.
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°.
∴∠HEA=∠AFM.
又∵∠EHA=∠FAD=90°,
∴△HEA≌△AFD.
∴AE=DF.
(2)过点E作EG⊥AB于点G.
∴∠EGB=∠CAB=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△EGB∽△CAB.∴=.
∴==.
∵=,∴EG=DC.
设EG=DC=3x,AC=3y,
由题意得BE=5x,BC=5y,
∴BG=4x,AB=4y.
∵∠EGA=∠AMF=90°,
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM=90°.
∴∠AFM=∠GEA.
又∵∠FAD=∠EGA=90°,
∴△FAD∽△EGA.
∴===.
23.解:(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵∠ADE=30°,∴∠B=∠ADE.
又∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB,
∴∠EDC=∠DAB.
∴△ABD∽△DCE.
(2)如图①,过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB=2,∠ABF=30°,∴AF=AB=1.
∴BF=.∴BC=2BF=2.
∴CD=2-x,CE=2-y.
∵△ABD∽△DCE,∴=,即=.化简得y=x2-x+2(0(3)若AD=DE,如图②,则△ABD≌△DCE,
∴AB=CD,即2=2-x,解得x=2-2.
将其代入y=x2-x+2,得y=4-2,
即AE=4-2.
若AE=ED,如图③,则∠EAD=∠ADE=30°,∠AED=120°,∴∠DEC=60°,∠EDC=90°.
则DE=CE,即y=(2-y).
解得y=,即AE=.
若AD=AE,则∠AED=∠ADE=30°,∠EAD=120°,∵此时点D与点B重合,不符合题意,故此种情况不存在.
综上,当△ADE是等腰三角形时,AE的长为4-2或.
24.解:(1)由“准互余三角形”的定义可知:若△ABC是“准互余三角形”,又∠C>90°,则有2∠A+∠B=90°或2∠B+∠A=90°.
又∠A=60°,则2∠A+∠B=90°不成立.
将∠A=60°代入2∠B+∠A=90°可得∠B=15°.
(2)存在.∵点E在BC边上,∴∠AEB>90°.
∴若△ABE为“准互余三角形”,
则2∠BAE+∠B=90°或2∠B+∠BAE=90°.
∵点E异于点D,
∴2∠BAE+∠B=90°不成立.
∵在Rt△ABC中可得∠BAE+∠EAC+∠B=90°,
又2∠B+∠BAE=90°,
∴∠B=∠EAC.
则易得△ABC∽△EAC.
∴=.
∵AC=4,BC=5,∴CE=.
∴BE=BC-CE=.
(3)∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠BCD,
∴∠ABC>90°.
∴本题分两种情况讨论.
①∵△ABC为“准互余三角形”,
∴若∠BAC+2∠ACB=90°,
设∠ACD=x,∠ACB=y,AC与BD交于点O.
则可得∠BAC=90°-2y,∠ABD=2x+2y,
∴∠AOB=90°-2x.
又∵在△CDO中,∠DOC=90°-x,
∴90°-2x=90°-x,
解得x=0°,与构成四边形矛盾,舍去.
②若2∠BAC+∠ACB=90°,
设∠BAC=x,则∠ACB=90°-2x,∠ABC=90°+x.
过点B作BE⊥AB交AC于点E,易得△CBE∽△CAB,
∴=,即CB2=CE·CA.
由∠ABD=2∠BCD,易得∠BAC=∠BCD,则△BAE∽△DCB.
设AE=7a,则CB=12a,
则易得CE=9a.
由△CBE∽△CAB,得=,
即=,则BE=.
由勾股定理得AE==7a,
∴AC=7a+9a=16a=20.