第2课时 正方形的判定
命题点 1 正方形的判定
1.下列说法不正确的是 ( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.矩形的四条内角平分线所围成的四边形是 ( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般平行四边形
3.如图在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,连接BE,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AD=AF;
(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
4.如图E是矩形ABCD的边BC的中点,P是边AD上的一动点,PF⊥AE,PH⊥DE,垂足分别为F,H.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PHEF是矩形 为什么
(2)在(1)的条件下,当动点P运动到什么位置时,矩形PHEF变为正方形 为什么
命题点 2 正方形的性质与判定
5.如图正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠DAE=67.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为 ( )
A.1 B. C.4-2 D.3-4
6.如图正方形ABCD的边长为1,O是BC边上的一个动点(不与点B,C重合),以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°.
(1)当OM经过点A时,请直接填空:ON (填“可能”或“不可能”)过点D(图①仅供分析);
(2)如图②,在ON上截取OE=AO,过点E作EF⊥直线BC于点F,作EH⊥CD于点H,求证:四边形EFCH为正方形.
命题点 3 中点四边形
7.如图在四边形ABCD中,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,依次连接点E,F,G,H.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)在四边形ABCD中,若再补充一个条件: ,则四边形EFGH是矩形.并说明理由.
8.如图直线MN∥PQ,A,B分别是直线MN和PQ上的点,∠ACB=90°,D是直线PQ上点B右边一点,直线AD平分∠CAN,BA平分∠CBD.
【发现问题】如图①,当点C在直线MN上时,求证:四边形ACBD是正方形,并直接写出∠BAD的度数;
【深化拓展】如图②,当点C在直线MN上方时,其他条件不变,直接写出∠BAD的度数;
【推广应用】当点C在直线MN上方,∠ACB=n时,直接写出∠BAD的度数.(用含n的代数式表示)
答案
第2课时 正方形的判定
1.D 2.A
3.解:(1)证明:∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.
在△AEF和△DEB中,∵∠EAF=∠EDB,AE=DE,∠AEF=∠DEB,
∴△AEF≌△DEB(ASA).∴AF=DB.
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,
∴AD=DB=DC=BC.∴AD=AF.
(2)四边形ADCF是正方形.
证明:∵AF=DB=DC,AF∥BC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.
∴ ADCF是矩形.
又∵AD=AF,∴矩形ADCF是正方形.
4.解:(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时,四边形PHEF是矩形.
理由:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠C=90°.
∵E是BC的中点,BC=2AB,
∴AB=BE=EC=CD.
∴△ABE,△DCE均是等腰直角三角形.
∴∠AEB=∠DEC=45°.
∴∠AED=90°.
又∵PF⊥AE,PH⊥DE,
∴∠PFE=∠EHP=90°.
∴四边形PHEF是矩形.
(2)在(1)的条件下,当动点P运动到AD的中点时,矩形PHEF变为正方形.理由:
由(1)可得∠BAE=∠CDE=45°,
∴∠FAP=∠HDP=45°.
又∵∠AFP=∠DHP=90°,AP=DP,
∴△AFP≌△DHP.
∴PF=PH.
∴矩形PHEF是正方形.
5.C 在正方形ABCD中,∠ABD=∠ADB=45°,∠DAE=67.5°,
∴在△ADE中,∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°.
∴∠DAE=∠AED.
∴AD=DE=4.
∵正方形的边长为4,
∴BD=4.
∴BE=BD-DE=4-4.
∵EF⊥AB,∠ABD=45°,
∴△BEF是等腰直角三角形.
∴EF=BE=×(4-4)=4-2.
故选C.
6.解:(1)不可能.理由如下:若ON过点D,则OA>AB,OD>CD,
∴OA2>AD2,OD2>AD2.
∴OA2+OD2>2AD2.
∴OA2+OD2≠AD2.
∴∠AOD≠90°.这与∠MON=90°矛盾,
∴ON不可能过点D.故答案为不可能.
(2)证明:∵EH⊥CD,EF⊥BC,
∴∠EHC=∠EFC=90°.
又∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠BCD=90°.
∴∠HCF=90°.
∴四边形EFCH为矩形.
∵∠MON=90°,
∴∠EOF=90°-∠AOB.
在Rt△ABO中,∠OAB=90°-∠AOB,
∴∠EOF=∠OAB.
在△OFE和△ABO中,
∵∠EOF=∠OAB,∠EFO=∠B=90°,OE=AO,
∴△OFE≌△ABO(AAS).
∴EF=OB,OF=AB.
又OF=CF+OC,AB=BC=OB+OC,
∴CF=OB=EF.
∴矩形EFCH为正方形.
7.解:(1)证明:∵H,G分别是AD,CD的中点,
∴HG是△ACD的中位线,
∴HG∥AC,HG=AC.
同理,EF∥AC,EF=AC,
∴HG∥EF,HG=EF,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)补充的条件是AC⊥BD.理由如下:
设AC,BD的交点为O,EF,BD的交点为M.
若AC⊥BD,则∠DOC=90°.
∵EF∥AC,
∴∠OMF=∠DOC=90°.
易得FG是△BCD的中位线,
∴FG∥BD,
∴∠GFE=180°-∠OMF=90°.
由(1)知四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是矩形.
8.解:【发现问题】
证明:∵直线AD平分∠CAN,∴∠CAD=90°.
∵∠ACB=90°,∴BC∥AD.
∵MN∥PQ,∴四边形ACBD是矩形.
∵MN∥PQ,∴∠CAB=∠ABD.
∵BA平分∠CBD,∴∠ABC=∠ABD,
∴∠CAB=∠ABC,则AC=BC,
∴四边形ACBD是正方形,∠BAD=45°.
【深化拓展】
如图,设BC与MN交于点E,F为DA延长线上一点.
∵MN∥PQ,
∴∠1=∠2,∠CEA=∠CBD.
∵BA平分∠CBD,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2=∠3,∠CEA=2∠1.
∵直线AD平分∠CAN,
∴∠CAF=∠NAF=∠1+∠BAD.
∵∠ACB=90°,∴∠CEA+∠CAE=90°,
即2∠1+∠CAE=90°.
∵∠CAF+∠CAE+∠1+∠BAD=180°,
∴∠1+∠BAD+∠CAE+∠1+∠BAD=180°,
∴2∠BAD=90°,∴∠BAD=45°.
【推广应用】
∵∠ACB=n,同上得∠CEA+∠CAE=180°-n,
即2∠1+∠CAE=180°-n.
∵∠CAF+∠CAE+∠1+∠BAD=180°,∴∠1+∠BAD+∠CAE+∠1+∠BAD=180°,
∴2∠BAD=n,
∴∠BAD=. 第1课时 正方形及其性质
命题点 1 正方形的四个角都是直角,四条边相等
1.如图在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,连接AC,BE相交于点F,则∠BFC的度数为 ( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
2.(2021绵阳)如图在边长为3的正方形ABCD中,∠CDE=30°,CF⊥DE,交AB于点F,则BF的长是 ( )
A.1 B. C. D.2
3.如图边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,使点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM的长为 ( )
A. B. C.-1 D.-1
4.已知:如图在正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是E,F.
(1)求证:EF=AE-BE;
(2)连接BF,若AD=5,AF=3,求BF的长.
命题点 2 正方形的对角线相等且互相垂直平分
5.如图在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,BD=6,BE=DF=4,则四边形AECF的面积为 ( )
A.12 B.6 C. D.2
6.如图已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
(1)如图①,设E,F分别是AD,AB上的点,且∠EOF=90°,线段AF,BF和EF之间存在一定的数量关系.请你用等式直接写出这个数量关系;
(2)如图②,设E,F分别是AB上不同的两个点,且∠EOF=45°,请你用等式表示线段AE,BF和EF之间的数量关系,并证明.
命题点 3 正方形与图形变换
7.如图两个边长为4的正方形重叠在一起,点O是其中一个正方形的中心,则图中阴影部分的面积为 .
8.如图所示,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,且∠EBF=45°.
(1)求证:EF=FC+AE;
(2)若AB=2,求△DEF的周长.
9.(2021上海)定义:在平面内,一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离.如图在平面内有一个正方形,边长为2,中心为点O,在正方形外有一点P,OP=2,当正方形绕着点O旋转时,点P到正方形的距离d的取值范围为 .
答案
第1课时 正方形及其性质
1.C 如图.在正方形ABCD中,∠BAD=90°,∴∠2=∠BAD=45°.
在等边三角形ADE中,∠4=60°,
∴∠BAE=∠BAD+∠4=150°.
∵AB=AD=AE,
∴∠1=∠3=(180°-∠BAE)=15°.
∴∠5=∠1+∠2=60°,即∠BFC=60°.故选C.
2.C
3.D ∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=,∠DCB=∠COD=90°,OB=OD=OC.
∴BD=CD=2.∴OD=OB=OC=1.
∵将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,
∴DE=DC=,DF⊥CE.
∴OE=-1,∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°.
∴∠ODM=∠OCE.
∴△OEC≌△OMD.
∴OM=OE=-1.
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴BA=AD,∠BAD=90°.
∴∠BAE+∠FAD=90°.
∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFD=90°.
∴∠FAD+∠ADF=90°.
∴∠BAE=∠ADF.
在△ABE和△DAF中,
∵∠BEA=∠AFD,∠BAE=∠ADF,BA=AD,
∴△ABE≌△DAF.∴BE=AF.
∴EF=AE-AF=AE-BE.
(2)由(1)知,△ABE≌△DAF,
∴AE=DF,BE=AF=3.
∵AD=5,AF=3,
∴DF==4.∴AE=4.
则EF=4-3=1.
∴BF===.
5.B
6.解:(1)EF2=AF2+BF2.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°.
又∵∠EOF=90°,∴∠EOA=∠FOB.
在△EOA和△FOB中,
∵∠EOA=∠FOB,OA=OB,∠OAE=∠OBF,
∴△EOA≌△FOB,∴AE=BF.
在Rt△EAF中,EF2=AF2+AE2=AF2+BF2.
(2)EF2=BF2+AE2.证明:在BC上取一点H,使得BH=AE,连接OH,HF,如图.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠OAE=∠OBH,∠AOB=90°.
在△OAE和△OBH中,
∵OA=OB,∠OAE=∠OBH,AE=BH,
∴△OAE≌△OBH(SAS),
∴∠AOE=∠BOH,OE=OH.
∵∠EOF=45°,∴∠AOE+∠BOF=45°,
∴∠BOF+∠BOH=45°,
∴∠FOE=∠FOH=45°.
在△FOE和△FOH中,
∵OF=OF,∠FOE=∠FOH,OE=OH,
∴△FOE≌△FOH,
∴EF=FH.
∵∠FBH=90°,∴FH2=BF2+BH2,
∴EF2=BF2+AE2.
7.4
8.解:(1)证明:如图,将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM,
则AE=CM,BE=BM,∠A=∠BCM,∠ABC=∠EBM=90°.
又∵∠EBF=45°,∴∠MBF=45°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠BCD=90°.
∴∠BCM+∠BCD=180°.
∴F,C,M三点共线.
在△BEF与△BMF中,
∵BE=BM,∠EBF=∠MBF,BF=BF,
∴△BEF≌△BMF.
∴EF=MF=FC+CM=FC+AE.
(2)由(1)知EF=FC+AE,
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+FC=AD+CD=2AB=4.
9.2-≤d≤1 设AB的中点是E,OP过点E时,点O与边AB上所有点的连线中,OE最小,此时d=PE最大,OP过顶点A时,点O与边AB上所有点的连线中,OA最大,此时d=PA最小.
如图①,连接AO.∵正方形ABCD边长为2,点O为正方形的中心,
∴AE=1,∠OAE=45°,OE⊥AB,
∴OE=1.
∵OP=2,
∴d=PE=1;
如图②,连接OE.
∵正方形ABCD边长为2,点O为正方形的中心,
∴AE=1,∠OAE=45°,OE⊥AB,
∴OA=.
∵OP=2,
∴d=PA=2-.
∴d的取值范围为2-≤d≤1.
