北师大版（新）八上-1.2 一定是直角三角形吗【优质课件】

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1.2 一定是直角三角形吗
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情景导入
问题1：在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
答：在一个直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
问题2：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
由三边关系确定直角三角形
做一做
下面的每组数分别是一个三角形的三边长a，b，c 而且都满足a2+b2=c2：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25.
分别以每组数为三边长画出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流.
探索新知
直角三角形的判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．利用边的关系判定直角三角形的步骤：
(1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边．
(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形．
探索新知
例1 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图2
图1
探索新知
解：在△ABD中，AB 2+AD 2=9+16=25=BD 2，
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.
在△BCD中，BD 2+BC 2=25+144=169=CD 2，
所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
探索新知
例2 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
(3)一个三角形的三边长a，b，c满足b2－a2＝c2.
导引：判断一个三角形是不是直角三角形，如果条件与角 相关，则考虑用定义判断，如果条件与边相关，则考虑用边的关系判断．第(1)题可以直接根据直角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依据边的关系判断．
探索新知
解：(1)在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠B＝180°－25°－65°＝90°.
所以△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，因为AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)因为三角形的三边长满足b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2，
所以此三角形是直角三角形，且b是斜边长．
警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是否为直角三角形外，还要考虑是否为等腰三角形．
探索新知
总 结
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和判断；
(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．
典题精讲
下列四组线段中，能组成直角三角形的是(　　)
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
1
D
2 如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
A
探索新知
2
知识点
勾股数
1. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
探索新知
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是不是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
探索新知
例3 下面四组数中是勾股数的一组是(　　)
A．6，7，8　　 B．5，8，13　　
C．1.5，2，2.5　 　 D．21，28，35
导引：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数．
A．62＋72≠82，不是勾股数，故错误；
B．52＋82≠132，不是勾股数，故错误；
C．1.5和2.5不是整数，所以不是勾股数，故错误；
D．212＋282＝352，是勾股数，故正确．
D
探索新知
总 结
确定勾股数的方法：
首先看这三个数是不是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方．记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度．
探索新知
例4 观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中a＜b＜c.

　
(1)试找出它们的共同点，并说明你的结论；
(2)当a＝21时，求b，c的值．
3，4，5 32＋42＝52
5，12，13 52＋122＝132
7，24，25 72＋242＝252
9，40，41 92＋402＝412
… …
a，b，c a2＋b2＝c2
探索新知
导引：只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一般的思想来解答．
解： (1)各组数的共同点：
①各组数均满足a2＋b2＝c2；
②最小数a是奇数，其余的两个数b，c是连续的正整数；
③最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和．
探索新知
由以上特点可猜想并说明这样一个结论：
设x为大于1的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和，
即x2＝y＋(y＋1)，则x，y，y＋1就能构成一组勾股数．
理由：因为x2＝y＋(y＋1)(x为大于1的奇数)，
所以x2＋y2＝y＋(y＋1)＋y2＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
所以x，y，y＋1是一组勾股数．
(2)运用以上结论，当a＝21时，212＝441＝220＋221.
所以b＝220，c＝221.
探索新知
总 结
寻找与大于且等于3的奇数组成勾股数的一种方法：
先选一个大于1的奇数，然后把这个数的平方写成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，如452＝2 025＝1 012＋1 013，则45，1 012，1 013就是一组勾股数，运用此法可以得到许多组勾股数.
典题精讲
下列各组数中，不是勾股数的是(　　)
A．5，12，13
B．7，24，25
C．8，12，15
D．3k，4k，5k(k为正整数)
C
学以致用
小试牛刀
1．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是____________．
直角三角形
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为____________．
3．下列各组数能构成勾股数的是________(填序号)．
① 6，8，10；② 7，8，10；③ ， ，1.
勾股数
①
小试牛刀
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(　　)
A．∠A为直角 B．∠C为直角
C．∠B为直角 D．△ABC不是直角三角形
A
5．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(　　)
A．3，4，4 B．3，4，5
C．3，4，6 D．3，4，7
C
小试牛刀
6．下列各组数中，是勾股数的是(　　)
A．14，36，39 B．8，24，25
C．8，15，17 D．10，20，26
C
7．下列几组数：
①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；
④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)．
其中是勾股数的有(　　)
A．1组　　 B．2组　　　 C．3组　　 D．4组
D
小试牛刀
7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如果a＝ ，b＝ ，c＝2，这个三角形是直角三角形吗？请说明理由．
小利的解答如下：
解：这个三角形不是直角三角形．理由如下：
因为a2＋b2＝ 2＋ 2＝ ，c2＝4，
所以a2＋b2≠c2.
所以△ABC不是直角三角形．
请问小利的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程，并画出这个三角形．
小试牛刀
解：
小利的解答不正确．正确的解答过程如下：
这个三角形是直角三角形．理由如下：
因为 >2> ，
所以b是这个三角形的最长边．
因为a2＋c2＝ 2＋22＝ ，b2＝ 2＝ ，
所以a2＋c2＝b2.
所以△ABC是直角三角形．
画出的△ABC如图所示．
小试牛刀
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠B＝90°.求∠BAD的度数．
连接AC. 因为∠B＝90°，AB＝BC＝2，
所以△ABC为等腰直角三角形． 所以∠BAC＝45°.
又因为CD＝3，AD＝1，
所以AC2＋AD2＝AB2＋BC2＋AD2＝4＋4＋1＝9，
CD2＝9.
解：
所以AC2＋AD2＝CD2.
所以△ACD是直角三角形且∠CAD＝90°.
所以∠BAD＝45°＋90°＝135°.
小试牛刀
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2.求∠BPC的度数．
【思路点拨】解答本题要紧扣两个切入点：
(1)由于∠BPC是一钝角，想办法将其分割成一直角与一特殊角(30°，60°，45°)的和的形式；
(2)用旋转法将△CPB绕点C顺时针旋转90°到△CP′A的位置．
小试牛刀
解：
如图，将△CPB绕点C顺时针旋转90°得△CP′A，则P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，连接PP′.
∵∠PCP′＝90°，∴PP′2＝22＋22＝8.
∵P′A＝1，PA＝3，
∴PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9.
∴PP′2＋P′A2＝PA2. ∴∠AP′P＝90°.
易知∠CP′P＝45°，
∴∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P
＝90°＋45°＝135°.
课堂小结
课堂小结
1.如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
同学们，
下节课见！
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