第1课时 菱形及其性质
命题点 1 菱形的四条边相等
1.若菱形一条边长为4 cm,则菱形的周长为 ( )
A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.12 cm
2.如图若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 .
命题点 2 菱形的对角线互相垂直平分
3.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ( )
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
4.如图在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,AH⊥BC于点H,则AH等于 ( )
A.24 B.10 C. D.
5.(2021山西)如图在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=8,AC=6,OE∥AB,交BC于点E,则OE的长为 .
6.如图菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离等于 .
7.如图在菱形ABCD中,点M,N分别在AD,BC上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接OD,若∠BAC=28°,则∠ODC= °.
8.如图在菱形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥AC于点H,交CB的延长线于点F.求证:AB与EF互相平分.
命题点 3 菱形的对称性
9.如图在菱形ABCD中,BC=10,E为BC边的中点,∠ABC=60°,若对角线BD上存在一点M,使AM+BM有最小值,则AM+BM的最小值是 ( )
A.5 B.5 C.10 D.6
10.如图在菱形ABCD中,已知∠ABD=20°,则∠C的度数是 .
11.(2021毕节)如图在菱形ABCD中,BC=2,∠C=120°,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则PA+PQ的最小值为 .
12.如图在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过点M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:AM=DF+ME.
13.如图在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°;连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°……按此规律所作的第2022个菱形的边长为 .
14.如图已知点A从点(1,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动,以O,A为顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内,且∠AOC=60°,点P的坐标为(0,3),设点A的运动时间为t秒.
(1)求点C的坐标(用含t的代数式表示);
(2)在点A的运动过程中,当t为何值时,△OCP为等腰三角形
答案
第1课时 菱形及其性质
1.C ∵菱形的四条边都相等,且一条边长为4 cm,∴其边长都为4 cm.∴菱形的周长=4×4=16(cm).故选C.
2.(-5,4) ∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),
∴OA=3,AB=5.∴AD=CD=5.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得
OD===4.
∴点C的坐标是(-5,4).
故答案为(-5,4).
3.D
4.C 设对角线AC,BD相交于点O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=AC=3,OB=OD=BD=4,
∴BC===5.
∵菱形ABCD的面积=AC·BD=×6×8=24,
∴BC·AH=24,∴AH=.
故选C.
5. ∵在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC=AC=3,OB=BD=4,AC⊥BD.
∵OE∥AB,
∴BE=CE,
∴OE为△ABC的中位线,
∴OE=AB.
在Rt△ABO中,由勾股定理,得AB===5,
∴OE=.
6.10 由菱形的性质得AO=OC=CO'=2,BO=OD=B'O'=8,∠AOB=∠AO'B'=90°,
∴O'A=6,△AO'B'为直角三角形.
∴AB'===10.
7.62 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠ACD=∠BAC,∠OAM=∠OCN.
在△AOM和△CON中,
∵∠OAM=∠OCN,∠AOM=∠CON,AM=CN,
∴△AOM≌△CON.
∴OA=OC.
∴OD⊥AC.
∵∠ACD=∠BAC=28°,
∴∠ODC=90°-∠ACD=62°.
故答案为62.
8.证明:如图,连接BD,AF,BE.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AC⊥BD.
∵EF⊥AC,∴EF∥BD.
又∵AD∥BC,∴四边形EDBF是平行四边形.
∴DE=BF.
∵E为AD的中点,∴AE=DE.∴AE=BF.
又∵AE∥BF,∴四边形AEBF是平行四边形.∴AB与EF互相平分.
9.B 如图,过点M作MF⊥BC于点F.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=10,∠DBC=∠ABC=30°.
∴MF=BM.
∴AM+BM=AM+MF.
∴当点A,M,F共线且垂直于BC时,AM+MF有最小值.
∴AM+BM的最小值为AE的长.
∵BC=10,E为BC边的中点,∴BE=5.
在Rt△ABE中,根据勾股定理,得AE===5,
∴AM+BM的最小值为5.
10.140° 因为菱形的每一条对角线平分一组对角,所以∠ABC=2∠ABD=40°.又AB∥CD,所以∠C=180°-40°=140°.
11. 如图,连接PC,AC,CQ.
∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABP=∠PBC.
在△ABP和△CBP中,
∵BA=BC,∠ABP=∠CBP,BP=BP,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠ABC=180°-120°=60°.
又∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形.
∵Q为AB的中点,∴BQ=1,CQ⊥AB,
∴CQ==.
∵PA+PQ=PC+PQ≥CQ,
∴PA+PQ≥,
∴PA+PQ的最小值为.
12. (1)应用菱形的性质,先得到∠1=∠ACD,由∠1=∠2,得∠2=∠ACD,然后由等腰三角形“三线合一”的性质知CE=ED,从而求出CD=2,即BC=2.(2)由F是BC的中点,延长AB,DF交于点N,得到△CMF≌△CME,△CDF≌△BNF,得MF=ME,DF=NF,∠2=∠N,由∠1=∠2,得∠N=∠1,∴MN=AM,进而得到AM=MN=NF+MF=DF+ME.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,BC=CD.∴∠1=∠ACD.
∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2.∴MC=MD.
又∵ME⊥CD,∴CE=ED=CD.
∴BC=CD=2CE=2.
(2)证明:如图,延长DF,AB交于点N.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠FCM=∠ECM.
∵F为边BC的中点,
∴CF=BF=BC.
由(1)可知CE=ED=CD,∴CF=CE.
又∵CM=CM,∴△CMF≌△CME.
∴MF=ME.
∵AB∥CD,∴∠2=∠N,∠DCF=∠NBF.
又∵CF=BF,∴△CDF≌△BNF.
∴DF=NF.
∵∠1=∠2,∠2=∠N,∴∠N=∠1.
∴AM=MN=NF+MF=DF+ME.
13. 第一个菱形的边长为1==;
第二个菱形的边长为2=2×==;
第三个菱形的边长为2=2×=3==……
按此规律所作的第2022个菱形的边长为.
14.解:(1)过点C作CH⊥x轴于点H,如图.
根据题意,得OA=t+1.
∵四边形OABC是菱形,
∴OC=OA=t+1.
∵∠AOC=60°,
∴∠OCH=30°.
∴OH=OC=,则CH==.
∴点C的坐标为,.
(2)①若∠POC为等腰三角形OCP的顶角,则OC=OP,∴t+1=3.解得t=2.
②若∠OCP为等腰三角形OCP的顶角,则PC=OC.在△OCP中,OC=PC,∠POC=90°-∠AOC=30°,易求得OP=OC.
又∵OP=3,OC=t+1,
∴(t+1)=3.解得t=-1.
③若∠OPC为等腰三角形OCP的顶角,则OP=PC.又∵∠POC=30°,∴OC=3.
∴t+1=3.解得t=3-1.
综上可知,当t的值为2或-1或3-1时,△OCP为等腰三角形.第2课时 菱形的判定
命题点 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图要使 ABCD成为菱形,需添加的条件可以是 ( )
A.AC=BD B.∠1=∠2 C.∠ABC=90° D.∠1=90°
2.(2021淮安)已知:如图在 ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且BE平分∠ABC,EF∥AB.求证:四边形ABFE是菱形.
3.如图在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是边BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.
(1)求证:AF=CE;
(2)当∠B=30°时,试判断四边形ACEF的形状,并说明理由.
命题点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形,则这个条件可以是 ( )
A.∠ABC=90° B.AC⊥BD
C.AB=CD D.∠BAD=∠BCD
5.如图在Rt△ABC中,∠B=90°,E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.
求证:四边形ADCF是菱形.
命题点 3 四边相等的四边形是菱形
6.如图在四边形ABCD中,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.
(1)求证:∠BOD=∠C;
(2)若BC=CD,求证:四边形OBCD是菱形.
7.四边形的四条边长分别为a,b,c,d,且满足条件a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da,则此四边形一定是 .
8.如图已知P为∠ACB平分线上的一点,∠ACB=60°,PD⊥CA于点D,PE⊥CB于点E,M是线段CP上的动点(不与点C,P重合),连接DM,EM.
(1)求证:DM=EM;
(2)当点M运动到线段CP的什么位置时,四边形PDME为菱形 请说明理由.
答案
第2课时 菱形的判定
1.B ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠DAC=∠1.又∵∠1=∠2,
∴∠DAC=∠2.∴AD=DC.∴ ABCD是菱形.
2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
又∵EF∥AB,∴四边形ABFE是平行四边形.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBF,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,∴四边形ABFE是菱形.
3.解:(1)证明:∵D,E分别是边BC,AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴AC=2DE,DE∥AC,即EF∥AC.
又∵EF=2DE,
∴EF=AC.
∴四边形ACEF是平行四边形.∴AF=CE.
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.
理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB=AE.
∴△AEC是等边三角形.∴AC=CE.
又由(1)知四边形ACEF是平行四边形,
∴四边形ACEF是菱形.
4.B
5.证明:∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE.
∵E是AC的中点,∴AE=CE.
在△AFE和△CDE中,
∵∠AFE=∠CDE,∠AEF=∠CED,AE=CE,
∴△AFE≌△CDE.∴AF=CD.
又∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC=2AB,E是AC的中点,∴AE=AB.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD.
在△AED和△ABD中,
∵AE=AB,∠EAD=∠BAD,AD=AD,
∴△AED≌△ABD.
∴∠AED=∠B=90°.∴AC⊥DF.
∴ ADCF是菱形.
6.证明:(1)延长AO到点E,如图.
∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.
又∵∠BOE=∠ABO+∠BAO,
∴∠BOE=2∠BAO.
同理∠DOE=2∠DAO,
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO),
即∠BOD=2∠BAD.
又∵∠BCD=2∠BAD,∴∠BOD=∠BCD.
(2)连接OC,如图.
在△OBC和△ODC中,
∵BC=DC,OB=OD,OC=OC,
∴△OBC≌△ODC(SSS),
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO.
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
∴∠BOC=∠BOD,∠BCO=∠BCD.
又∵∠BOD=∠BCD,
∴∠BOC=∠BCO,∴BO=BC.
又∵OB=OD,BC=CD,∴OB=BC=CD=DO,
∴四边形OBCD是菱形.
7.菱形 ∵a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da,∴2(a2+b2+c2+d2)-2ab-2bc-2cd-2da=0.
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2=0.
由非负数的性质可知a-b=0,b-c=0,c-d=0,d-a=0,
∴a=b=c=d.
∴此四边形一定是菱形.
8.解:(1)证明:∵P为∠ACB平分线上的一点,
∴∠ACP=∠BCP=∠ACB=30°.
又∵PD⊥CA,PE⊥CB,
∴∠PDC=∠PEC=90°,PD=PE.
在Rt△DCP和Rt△ECP中,
∵CP=CP,PD=PE,
∴Rt△DCP≌Rt△ECP.
∴CD=CE.
在△DCM和△ECM中,
∵CD=CE,∠DCM=∠ECM,CM=CM,
∴△DCM≌△ECM.
∴DM=EM.
(2)当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.理由如下:
在Rt△DCP中,∵∠DCP=30°,
∴PC=2PD,∠CPD=60°.
∵PD=PE,DM=EM,
∴当DM=PD时,PD=PE=DM=EM,则四边形PDME为菱形.
此时△PDM为等边三角形.
∴DM=PM,∠PMD=60°.
∴∠CDM=60°-30°=30°.
∴∠CDM=∠DCM.
∴CM=DM=PM.
∴M为CP的中点,
即当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
命题点 1 应用菱形的性质与判定求角的度数或线段的长度
1.如图已知四边形ABCD的四边都相等,等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC,CD上,且AE=AB,则∠C的度数为( )
A.100° B.105° C.110° D.120°
2.(2020哈尔滨)如图在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为 ( ).
A.2 B.3 C. D.2
3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,已知CD=3.
(1)求AD的长;
(2)求四边形AEDF的周长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
4.(2021十堰)如图在△ABC中,D是AC的中点,过点D作DE⊥AC交BC于点E,过点A作AF∥BC交DE于点F,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若CF=2,∠FAC=30°,∠B=45°,求AB的长.
命题点 2 菱形面积的计算
5.已知在菱形ABCD中,∠ABC∶∠BCD=1∶2,对角线AC=2,则菱形ABCD的面积为 .
6.如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=8,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
命题点 3 菱形在实际生活中的应用
7.小明借助没有刻度的直尺,按照的顺序作出了∠AOB的平分线OP,他这样做的数学原理是 .
8.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等的菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加d cm,如图所示.已知每个菱形图案的边长均为10 cm,其中一个内角为60°.
(1)若d=26,该纹饰有231个菱形图案,求纹饰的长度L;
(2)当d=20时,若保持(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案
9.如图在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10 cm,P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为
cm.
答案
第3课时 菱形的性质与判定的综合应用
1.A ∵四边形ABCD的四边都相等,
∴四边形ABCD是菱形.
∴∠B=∠D,∠BAD=∠C,AD∥BC.
∴∠DAB+∠B=180°.
∵△AEF是等边三角形,AE=AB,
∴∠AEF=∠AFE=60°,AF=AD.
∴∠B=∠AEB=∠D=∠AFD.
由三角形的内角和定理,得∠BAE=∠FAD.
设∠BAE=∠FAD=x,
则∠D=∠AFD=180°-60°-2x.
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°,
∴x+2(180°-60°-2x)=180°,
解得x=20°.
∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°.
故选A.
2.A 设BE=x,则CD=2x.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD=CD=2x,OB=OD,AC⊥BD.
∵∠DAE=∠DEA,
∴DE=DA=2x,
∴BD=3x,
∴OB=OD=x.
∵OE+BE=BO,
∴1+x=x,
解得x=2,
即AB=4,OB=3.
在Rt△AOB中,OA==.
在Rt△AOE中,AE==2.
故选A.
3.解:(1)∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠CAB=30°.
在Rt△ACD中,∵∠ACD=90°,∠CAD=30°,
∴AD=2CD=6.
(2)∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠EAD=∠DAF.
∴∠ADF=∠DAF.
∴AF=DF.
∴四边形AEDF是菱形.
∴AE=DE=DF=AF.
在Rt△CED中,
∵∠CDE=∠B=30°,∴DE=2CE.
由勾股定理可得DE2-CE2=CD2=9.
解得DE=2.
∴四边形AEDF的周长为8.
4.解:(1)证明:在△ABC中,D是AC的中点,
∴AD=DC.
∵AF∥BC,∴∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED,∴△AFD≌△CED(AAS),
则AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形.
又EF⊥AC,D是AC的中点,即EF垂直平分AC,
∴AF=FC,
∴四边形AECF是菱形.
(2)如图,过点A作AG⊥BC于点G.
由(1)知四边形AECF是菱形,
又CF=2,∠FAC=30°,
∴AF∥EC,AE=CF=2,∠FAE=2∠FAC=60°,
∴∠AEB=∠FAE=60°.
∵AG⊥BC,
∴∠AGB=∠AGE=90°,
∴∠GAE=30°,
∴GE=AE=1,AG=.
∵∠B=45°,∴∠GAB=∠B=45°,
∴BG=AG=,∴AB=.
5.6
6.解:(1)证明:∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE∥BC且BC=2DE.
∵BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC=BE.
又∵EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形.
又∵BE=EF,
∴ BCFE是菱形.
(2)在菱形BCFE中,
∵∠BCF=120°,
∴∠EBC=60°.
由(1)知BE=BC,
∴△EBC是等边三角形.
∴BE=BC=CE=8.
过点E作EG⊥BC于点G,
则BG=4,EG=4,
∴菱形BCFE的面积为BC·EG=8×4=32.
7.菱形的每一条对角线都平分它的一组对角
8.解:(1)如图,菱形图案水平方向的对角线长为2AO=2=2=30(cm).
依题意,得L=30+26×(231-1)=6010(cm).
故纹饰的长度L为6010 cm.
(2)当d=20时,设需要x个这样的菱形图案,
则30+20×(x-1)=6010,
解得x=300.
即需要300个这样的菱形图案.
9.(10-10) 连接AC,BD.
在菱形ABCD中,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAD=∠BCD=60°.
∴△ABD,△BCD都是等边三角形.
①若以边BC为底,则在BC的垂直平分线上且在菱形的顶点D及其内部的点都满足题意,根据“直线外一点与直线上所有点连接的线段中,垂线段最短”,可知当点P与点D重合时,PA最小,最小值为10 cm;
②若以边PB为底,∠PCB为顶角,则以点C为圆心,BC长为半径作圆,弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P为AC与弧BD的交点时,PA最小,最小值为(10-10)cm;
③若以边PC为底,∠PBC为顶角,则以点B为圆心,BC长为半径作圆,只有弧AC上的点D满足△PBC为等腰三角形,此时PA=10 cm.
综上所述,PA的最小值为(10-10)cm.
