第1课时 几何问题
命题点 1 利用一元二次方程解决图形面积问题
1.如图在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为2400平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为 ( )
A.(62-x)(42-x)=2400 B.(62-x)(42-x)+x2=2400
C.62×42-62x-42x=2400 D.62x+42x=2400
2.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步.经过计算,你的结论是长比宽多 ( )
A.12步 B.24步 C.36步 D.48步
3.(2020山西)如是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm.
4.如图某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12米.计划建造车棚的面积为80平方米,已知现有的木板材料可使新建板墙的总长度为26米.
(1)为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门,那么这个车棚的长和宽分别应为多少米
(2)在(1)的条件下,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路,使得停放自行车的面积为54平方米,那么小路的宽度是多少米
命题点 2 利用一元二次方程解决动点几何问题
5.如图在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止移动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15 cm2的是 ( )
A.2 s B.3 s C.4 s D.5 s
6.如图在Rt△ABC中,AC=24 cm,BC=7 cm,点P在BC上从点B向点C运动(不与点C重合),速度为2 cm/s;点Q在AC上从点C向点A运动(不与点A重合),速度为5 cm/s.若点P,Q分别从点B,C同时出发,当其中一点到达终点时,两点均停止运动,设运动时间为t s,请解答下面的问题:
(1)当t为何值时,P,Q两点之间的距离为5 cm
(2)当t为何值时,△PCQ的面积为15 cm2
(3)请用配方法说明:点P运动多长时间时,四边形BPQA的面积最小,最小面积是多少.
7.如是一个五边形的空地ABCDE,∠B=∠C=∠D=90°,∠A=135°,已知AB=4 m,BC=8 m,CD=10 m,DE=2 m,准备在五边形ABCDE内按如图所示方式设计一个矩形FGCH铺设木地板,剩下部分铺设地砖.点F,G,H分别在边AE,BC,CD上(不与端点重合).
(1)求五边形ABCDE的面积;
(2)若矩形FGCH的面积为35 m2,求BG的长;
(3)若铺设木地板的成本为每平方米200元,铺设地砖的成本为每平方米100元,投资7300元能否完成地面铺设 通过计算说明.
答案
第1课时 几何问题
1.A
2.A 设矩形田地的长为x步(x>30),则宽为(60-x)步.根据题意,得x(60-x)=864.
整理得x2-60x+864=0,
解得x=36或x=24(舍去),所以x-(60-x)=12.
故选A.
3.2
4.解:(1)设与墙垂直的一面长为x米,则与墙平行的一面长为(26-2x+2)米.
根据题意,得x(26-2x+2)=80.
整理得x2-14x+40=0.
解得x1=4,x2=10.
当x=4时,28-2x=20>12,不符合题意,舍去;
当x=10时,28-2x=8<12,符合题意.
∴这个车棚的长为10米,宽为8米.
(2)设小路的宽度为a米.
根据题意,得(8-2a)(10-a)=54,
即a2-14a+13=0.
解得a1=13(不符合题意,舍去),a2=1.
故小路的宽度为1米.
5.B 设动点P,Q移动t s后,能使△PBQ的面积为15 cm2,
则BP=(8-t)cm,BQ=2t cm.
由三角形的面积计算公式列方程得
·(8-t)·2t=15.
解得t1=3,t2=5(此时BQ=10 cm,不合题意,舍去).
∴动点P,Q移动3 s后,能使△PBQ的面积为15 cm2.
故选B.
6.解:在Rt△ABC中,∵AC=24 cm,BC=7 cm,
∴t s后,PC=(7-2t)cm,CQ=5t cm.
(1)当P,Q两点之间的距离为5 cm时,根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2,即(7-2t)2+(5t)2=(5)2,解得t1=1,t2=-(不合题意,舍去).
∴当t的值为1时,P,Q两点之间的距离为5 cm.
(2)当△PCQ的面积为15 cm2时,×(7-2t)×5t=15,解得t1=2,t2=1.5.∴当t的值为2或1.5时,△PCQ的面积为15 cm2.
(3)当△PCQ的面积最大时,四边形BPQA的面积最小.∵S△PCQ=PC·CQ=×(7-2t)×5t=-5t-2+,∴当t=时,△PCQ的面积最大,最大面积为 cm2,此时四边形BPQA的面积最小,为×7×24-=(cm2).∴当点P运动 s时,四边形BPQA的面积最小,最小面积为 cm2.
7.解:(1)过点E,A分别作EM⊥BC于点M,作AN⊥EM于点N,如图,
则∠EAN=∠AEN=45°,∴AN=EN.
易得MN=AB,EM=CD,
∴EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6(m),∴AN=6 m,
∴CM=BC-BM=BC-AN=8-6=2(m).
∴S五边形ABCDE=S△ANE+S矩形ABMN+S矩形EMCD=×6×6+4×6+2×10=62(m2).
(2)设BG=x m,则易得FG=(4+x)m,CG=(8-x)m.
根据题意,得(4+x)(8-x)=35,
解得x1=1,x2=3.
故BG的长为1 m或3 m.
(3)设BG=y m,且0由题意,得200(4+y)(8-y)+100[62-(4+y)(8-y)]=7300,
化简,得=0,
解得y1=7,y2=-3均不符合题意,∴投资7300元不能完成地面铺设.第2课时 增长率、利润问题
命题点 1 平均变化率问题
1.(2020河南)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为 ( )
A.5000(1+2x)=7500
B.5000×2(1+x)=7500
C.5000(1+x)2=7500
D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500
2.我市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是 ( )
A.8% B.9% C.10% D.11%
3.(2021淄博)为更好地发展低碳经济,建设美丽中国,某公司对其生产设备进行了升级改造.已知该公司去年第三季度产值是2300万元,今年第一季度产值是3200万元,假设公司每个季度产值的平均增长率相同.
(1)求该公司每个季度产值的平均增长率;
(2)该公司今年总产值能否超过1.6亿元 请说明理由.
命题点 2 利润问题
4.某商店销售连衣裙,每条盈利40元,每天可以销售20条.商店决定降价销售,经调查,每条每降价1元,商店每天可多销售2条连衣裙.若想要商店每天盈利1200元,每条连衣裙应降价
( )
A.5元 B.10元 C.20元 D.10元或20元
5.某校九年级二班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品购物节期间的销售情况,下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况:
小阳:据调查,该商品的进价为12元/件.
小佳:该商品定价为20元/件时,每天可售出240件.
小欣:在定价为20元/件的基础上,每件每涨价1元,每天就少售出20件;每件每降价1元,则每天就多售出40件.
根据他们的对话,若销售该商品每天能获利1920元,且为让顾客得到最大的优惠,应该怎样定价更合理
命题点 3 其他问题
6.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,若一共碰杯55次,则参加酒会的人数为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
7.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人;
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染
8.科学研究表明接种疫苗是战胜新型冠状病毒的最有效途径.当前居民接种疫苗迎来高峰期,导致相应医疗物资匮乏,某工厂及时引进了1条一次性注射器生产线生产一次性注射器.开工第一天生产200万个,第三天生产288万个.试回答下列问题:
(1)求前三天生产量的日平均增长率.
(2)经调查发现,1条生产线最大产能是600万个/天,若每增加1条生产线,每条生产线的最大产能将减少20万个/天.
①现该厂要保证每天最多生产一次性注射器2600万个,在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多,投入越大),应该增加几条生产线
②是否能增加生产线,使得每天最多生产一次性注射器5000万个 若能,求应该增加几条生产线;若不能,请说明理由.
答案
第2课时 增长率、利润问题
1.C
2.C 设平均每次下调的百分率为x,由题意,得6000(1-x)2=4860.
解得x1=0.1,x2=1.9(不合题意,舍去).
故平均每次下调的百分率为10%.
故选C.
3.解:(1)设该公司每个季度产值的平均增长率为x,
依题意,得2300(1+x)2=3200,
解得x1=0.18=18%,x2=-2.18(不合题意,舍去).
故该公司每个季度产值的平均增长率为18%.
(2)该公司今年总产值能超过1.6亿元,理由如下:
3200+3200×(1+18%)+3200×(1+18%)2+3200×(1+18%)3
=3200+3200×1.18+3200×1.39+3200×1.64
=3200+3776+4448+5248
=16672(万元).
1.6亿元=16000万元.
∵16672>16000,
∴该公司今年总产值能超过1.6亿元.
4.D
5.解:①当涨价时,设该商品定价为x元/件,则每件商品的销售利润为(x-12)元.
根据题意,得[240-20(x-20)]×(x-12)=1920,
整理,得x2-44x+480=0,
解得x1=20,x2=24.
②当降价时,设该商品定价为y元/件,则每件商品的销售利润为(y-12)元.
根据题意,得[240+40(20-y)]×(y-12)=1920,
整理,得y2-38y+360=0,
解得y1=20,y2=18.
综上所述,定价为18元/件更合理.
6.C 设参加酒会的人数为x.
根据题意,得x(x-1)=55.
整理,得0=0.
解得x1=11,x2=-10(不合题意,舍去).
故参加酒会的人数为11.
故选C.
7.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意,得1+x+x(x+1)=64,
解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
故每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)64×7=448(人).
故如果不及时控制,第三轮将又有448人被传染.
8.解:(1)设前三天生产量的日平均增长率为x,
根据题意,得200(1+x)2=288,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
故前三天生产量的日平均增长率为20%.
(2)①设应该增加m条生产线,则每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/天.
根据题意,得(1+m)(600-20m)=2600,
整理,得m2-29m+100=0,
解得m1=4,m2=25.
又∵增加产能同时又要节省投入,∴m=4.
故应该增加4条生产线.
②不能.理由如下:
设增加a条生产线,则每条生产线的最大产能为(600-20a)万个/天.
根据题意,得(1+a)(600-20a)=5000,
整理,得a2-29a+220=0.
∵Δ=(-29)2-4×1×220=-39<0,
∴该方程无实数根.
∴不能增加生产线,使得每天最多生产一次性注射器5000万个.
