第2课时 等比性质
命题点 1 利用等比性质求值
1.如果==(b+d+f≠0),那么下列等式成立的是 ( )
A.= B.= C.== D.==
2.已知===,a+c+e=6,则b+d+f的值为 ( )
A.12 B.9 C.6 D.4
3.如果==(b+d+f≠0),且a+c+e=·(b+d+f),那么(b≠2d)= .
4.已知==≠0,设A=,B=,C=,求A,B,C的值,并比较它们的大小(用“>”连接).
5.若x,y,z满足===k,求k的值.
命题点 2 利用等比性质推理
6.设a,b,c是△ABC的三条边长,且==,判断△ABC的形状,并说明理由.
7.已知a,b,c,d为四条均不相等的线段的长,如果=,那么=,=成立吗 为什么
8.已知线段a,b,c,d(四条线段互不相等),如果=,那么=成立吗 为什么
命题点 3 等比性质在图形中的应用
9.如图在△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,=,BD将△ABC的周长分为30和15两部分,求AB的长.
10.△ABC与△DEF在网格中的位置如图所示(顶点均在格点上),如果每个小正方形的边长都是1.
(1)求,,的值;
(2)求△ABC的周长与△DEF的周长的比;
(3)在AB,BC,AC,DE,EF,DF这六条线段中,指出其中三组成比例线段.
11.已知==,求的值.
12.已知===k,求一次函数y=kx+k的图象与x轴,y轴围成的三角形的面积.
答案
第2课时 等比性质
1.B 2.B
3. ∵==(b+d+f≠0),
∴=.∴==.
∵a+c+e=(b+d+f),∴=.
∴=.
4.解:令===k(k≠0),则x=2k,y=7k,z=5k,
故A====,B===1,C===2,故C>B>A.
5.解:①若x+y+z=0,则y+z=-x,
∴k===-1;
②若x+y+z≠0,
则k==2.
综上,k的值为-1或2.
6.解:△ABC为等边三角形.理由如下:
∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴a+b+c≠0.
∵==,
∴====0.
∴a-b=0,b-c=0,c-a=0.∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
7.解:成立.理由:因为=,所以=,
所以=.
因为=,所以=,所以=.
又因为=,所以=,
所以=.
8.解:如果=,那么=成立.
理由如下:(法1)因为=,所以=.
因为=,所以=,所以=,
所以=.
(法2)设==k(k≠0),则==k.
所以=k,=k,所以=.
(法3)因为=,所以=,
所以+1=+1,-1=-1,
所以=,=,
所以=,=,
所以=.
9.解:(1)若AB+AD=30,由=,得===.设AD=2k,DC=k,
则AB=AC=3k,AB+AD=5k=30,解得k=6.此时AB=AC=18,BC=9.因为9+18>18,能构成三角形,所以此种情况成立.所以AB=18.
(2)若AB+AD=15,由=,得===.设AD=m,DC=2m,
则AB=AC=3m,AB+AD=4m=15,解得m=.此时AB=AC=,BC=.因为+=,不能构成三角形,所以此种情况不成立,舍去.
综上,AB的长为18.
10.解:(1)由题意,得AB=4,BC=6,AC=2,DE=2,EF=3,DF=,
∴=2,=2,=2.
(2)∵=2,=2,=2,
∴===2.∴=2.
即△ABC的周长与△DEF的周长的比为2.
(3)∵=,
∴AB,DE,BC,EF是成比例线段.
∵=,
∴AB,DE,AC,DF是成比例线段.
∵=,
∴BC,EF,AC,DF是成比例线段.
11.解:解法1:若a+b+c≠0,
因为==,
所以====1,
所以a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,
所以a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a,
所以==8;
若a+b+c=0,
则a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b,于是有==-1.
解法2:若设===k,
则a+b=(k+1)c,①
a+c=(k+1)b,②
b+c=(k+1)a.③
①+②+③,得2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),
所以(a+b+c)(k-1)=0,
所以k=1或a+b+c=0.
当k=1时,==8;
当a+b+c=0时,==-1.
12.解:①若a+b+c≠0,则k=====2,
此时一次函数的表达式为y=2x+2.
令x=0,得y=2,令y=0,得x=-1,
∴一次函数y=2x+2的图象与x轴,y轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,2).
∴一次函数y=2x+2的图象与x轴,y轴围成的三角形的面积为×1×2=1.
②若a+b+c=0,则b+c=-a,k==-1,此时一次函数的表达式为.
令x=0,得y=-1,令y=0,得x=-1,
∴一次函数的图象与x轴,y轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,-1).
∴一次函数的图象与x轴,y轴围成的三角形的面积为×1×1=.
综上所述,一次函数y=kx+k的图象与x轴,y轴围成的三角形的面积为1或. 第1课时 比例线段
命题点 1 求线段的比
1.(2021上海一模)如图C是线段AB延长线上一点,且AC∶BC=3∶1,那么AB∶BC等于
( )
A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4
2.如图画线段AB的垂直平分线交AB于点O,在这条垂直平分线上截取OC=OA,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB于点P,则线段AP与AB的比是 ( )
A.∶2 B.1∶ C.∶ D.∶2
3.如图在△ABC中,AC=2 cm,BC=3 cm,则△ABC的两高AD与BE的比是( )
A. B. C. D.
命题点 2 成比例线段的识别
4.下列四条线段是成比例线段的是 ( )
A.1 cm,2 cm,4 cm,6 cm
B.3 cm,4 cm,7 cm,8 cm
C.2 cm,4 cm,8 cm,16 cm
D.1 cm,3 cm,5 cm,7 cm
5.如图四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2.
(1)求下列各线段的比:,,;
(2)在AB,BC,CF,CD,EF,BF这六条线段中,找出其中一组成比例线段.
命题点 3 比例的基本性质及应用求值
6.已知=(a≠0,b≠0),下列变形错误的是 ( )
A.= B.2a=3b C.= D.3a=2b
7.若a∶b=3∶4,则的值是 ( )
A.4 B.2 C.20 D.14
8.(2021大庆)已知==≠0,则= .
9.已知=,求的值.
10.如图在△ABC中,D为BC边上一点,=,且AB=6,AC=4,BC=5,求CD和BD的长.
命题点 4 比例在实际生活中的应用
11.某考察队从营地P处出发,沿北偏东60°方向前进了5千米到达A地,再沿东南方向前进到达C地,C地恰好在P地的正东方向.解答下列问题:
(1)用1厘米代表1千米,画出考察队的行进路线图;
(2)量出∠PAC和∠ACP的度数;
(3)测算出考察队从A地到C地走了多少千米,此时他们离营地有多远(精确到0.1千米)
12.如图在 ABCD中,DE⊥AB于点E,BF⊥AD交AD的延长线于点F.
(1)AB,BC,BF,DE这四条线段是不是成比例线段 请说明理由;
(2)若AB=10,DE=2.5,BF=5,求BC的长.
13.如图在线段AB上存在一点C,满足AC∶CB=CB∶AB=k.
(1)求k的值.
(2)如果三条线段a,b,c满足a∶b=b∶c=k,那么这三条线段能否构成三角形 如果能,请说出三角形的形状;如果不能,请说明理由.
答案
第1课时 比例线段
1.A
2.D 连接AC.设AO=m,则AB=2m,CO=m,故AC=AP=m,∴线段AP与AB的比是m∶2m=∶2.故选D.
3.A ∵S△ABC=BC·AD=AC·BE,AC=2 cm,BC=3 cm,
∴×3AD=×2BE.
∴AD=BE.∴=.
故选A.
4.C
5.解:(1)∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2,
∴CD=EF=AB=3,BC=AD=6.5,CF=BC-BF=4.5.
∴==,==,=.
(2)答案不唯一,如EF,CF,BF,AB是成比例线段.
6.B
7.B 由a∶b=3∶4知3b=4a,
∴b=a.
∴2a-b=2a-a=a,b-a=a-a=a.
∴==2.
8. 设===k,
则x=2k,y=3k,z=4k,
∴===.
故答案为.
9.解:∵=,
∴2x+6y=3x-3y.
∴x=9y.∴=9.
10.解:∵=,∴=.
∵AB=6,AC=4,BC=5,
∴=,解得CD=2.
∴BD=BC-CD=5-2=3.
11.解:(1)如图,行进路线图为折线P-A-C.
(2)量得∠PAC=105°,∠ACP=45°.
(3)量路线图得AC≈3.5厘米,PC≈6.8厘米,
∴AC≈3.5千米,PC≈6.8千米.
即考察队从A地到C地走了约3.5千米,此时他们离营地约6.8千米.
12.解:(1)AB,BC,BF,DE这四条线段是成比例线段.
理由:∵在 ABCD中,DE⊥AB,BF⊥AD,
∴S ABCD=AB·DE=AD·BF.∴=.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.
∴=,即AB,BC,BF,DE是成比例线段.
(2)由(1)得=,∴AB·DE=BC·BF.
∴10×2.5=5BC,解得BC=5.
13.解:(1)∵AC∶CB=CB∶AB=k,不妨设AB=1,则CB=k,AC=k2.
∵AC+CB=AB,∴k2+k=1,解得k=.
又∵k>0,∴k=.
(2)这三条线段不能构成三角形.
理由:∵a∶b=b∶c=k,∴b=kc=c,a=kb=k2c=c=c.
∴a+b=c.∴线段a,b,c不能构成三角形.
