北师大版数学九年级上册同步提优训练：4.2平行线分线段成比例(word版含答案)

2　平行线分线段成比例
　　　　　　 　　　　　　　　　　
命题点 1　利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论求值
1.如图已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是 (　　)
A.= B.= C.= D.=
2.如图已知直线AB∥CD∥EF,BD=2,DF=4,则的值为 (　　)
A. B. C. D.1
3.(2021哈尔滨)如图在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图在边长为3的菱形ABCD中,点E在边CD上,F为BE的延长线与AD的延长线的交点.若DE=1,则DF的长为　　　　.
5.如图在6×6的正方形网格中,连接两格点A,B,线段AB与网格线的交点为M,N,则MN的长为　　　　.
6.如图点D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB,AE=3,EC=6,DE=2,则FC的长为　　　　.
命题点 2　利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论证明
7.如图在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,EF∥DC,交AB于点F.
求证:AD2=AB·AF.
8.已知:如图在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.
求证:=.
命题点 3　利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决面积问题
9.如①,直线l1∥l2∥l3,直线AB和CH分别交直线l1,l2,l3于点A,D,B和点H,E,C,已知CE=6,HE=3,AB=12.
(1)尝试探究:在图①中,求出DB和AD的长;
(2)类比延伸:平移AB使得点A与点H重合,如图②所示,过点D作DF∥AC,交直线l3于点F.若DE=5,求线段BF的长;
(3)拓展迁移:如图③,若△ABC的面积是10,点D,E分别在AB,CA上,DE∥BC,点F在BC上,且BF=2,CF=3,如果△CBE的面积和四边形FCED的面积相等,求这个相等的面积值.
10.阅读材料:如①,已知数轴上点A,B表示的数分别为a,b,若C是线段AB的中点,则点C表示的数为.
知识应用:如图②,坐标平面内有A,B两点,其中点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),求AB的中点C的坐标.
　　　　　　　　 　
答案
2　平行线分线段成比例
1.A　2.A　3.B
4.　 ∵DE=1,DC=3,∴EC=3-1=2.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AB∥CD.
∴=,=.∴=.
∴=.∴DF=.
5.　 如图,在Rt△ABE中,AE=6,BE=4,根据勾股定理可得AB==2.
因为MC∥ND∥BE,
所以==,==,
所以AM∶MN∶NB=1∶3∶2,
所以==,所以MN=AB=.
6.4　 ∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形BFED是平行四边形.
∴BF=DE=2.
∵EF∥AB,∴=.
又∵AE=3,EC=6,∴FC=4.
7.证明:∵DE∥BC,∴AD∶AB=AE∶AC.
∵EF∥DC,∴AF∶AD=AE∶AC.
∴AD∶AB=AF∶AD.
∴AD2=AB·AF.
8.证明:如图,过点B作BE∥CD交AC的延长线于点E.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD.
∵BE∥CD,
∴∠CBE=∠BCD,∠CEB=∠ACD.
∴∠CBE=∠CEB.∴BC=CE.
∵BE∥CD,∴=.
∴=.
9.解:(1)∵直线l1∥l2∥l3,
∴=,即=.∴AD=4.
∴DB=AB-AD=12-4=8.
(2)∵平移AB使得点A与点H重合,
∴BD=8,AD=4.
∵DF∥AC,DE∥CF,
∴四边形DECF为平行四边形.
∴DE=CF=5.
∵DF∥AC,∴=,即=.
∴BF=10.
(3)∵△CBE的面积和四边形FCED的面积相等,即S△BEF+S△CEF=S△CEF+S△DEF,
∴S△BEF=S△DEF.而DE∥BF,∴DE=BF.
∴四边形BFED是平行四边形.
∴EF∥BD.∴==.∴=.
∴S△CBE=S△ABC=×10=6,即这个相等的面积值为6.
10.解:如图,分别过点A,C,B作AF⊥x轴,CE⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为F,E,D,则BD∥CE∥AF,易得=.
∵C是AB的中点,
∴BC=AC.
∴DE=EF,
即E是DF的中点.
∴点E的横坐标为.
∴点C的横坐标为.
同理可求得点C的纵坐标为.
∴AB的中点C的坐标为,.