第1课时 用树状图或表格求概率
命题点 1 直接列举法求概率
1.小明和他的爸爸、妈妈共3人站成一排拍照,他的爸爸、妈妈相邻的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.从长度分别为4,6,7,11的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
命题点 2 用列表法或画树状图法求“两步”试验的概率
3.(2021济南)某学校组织学生到社区开展公益宣传活动,成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队,若小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队,则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.从分别标有数字2,3和4,5的两组卡片(卡片除所标数字外均相同)中的一组中随机地抽取一张作为十位上的数字,再从另一组中随机抽取一张作为个位上的数字,组成的两位数恰好是“5”的倍数的概率为 .
5.一个不透明的袋中有三张形状和大小完全相同的卡片,编号分别为1,2,3,先从中任取一张,将其编号记为m,再从剩下的两张中任取一张,将其编号记为n,则关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等的实数根的概率是 .
6.(2021江西)为庆祝建党100周年,某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲,决定从A,B,C,D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加.抽签规则:将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,先从中随机抽取一张卡片,记下名字,再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张,记下名字.
(1)“A志愿者被选中”是 事件(填“随机”或“不可能”或“必然”);
(2)请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果,并求出A,B两名志愿者被选中的概率.
7.(2021陕西)从一副普通的扑克牌中取出四张牌,它们的牌面数字分别为2,3,3,6.
(1)将这四张扑克牌背面朝上,洗匀,从中随机抽取一张,则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ;
(2)将这四张扑克牌背面朝上,洗匀,从中随机抽取一张,不放回,再从剩余的三张牌中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法,
求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率.
命题点 3 利用画树状图法求“三步”试验的概率
8.小燕一家三口在商场参加抽奖活动,每人只有一次抽奖机会:在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个,这些球除颜色外无其他差别,从箱子中随机摸出1个球,然后放回箱子中,轮到下一个人摸球,则三人摸到球的颜色都不相同的概率是 ( )
A. B. C. D.
9.三名运动员参加定点投篮比赛,原定出场顺序是:甲第一个出场,乙第二个出场,丙第三个出场.由于某种原因,要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序,则抽签后每名运动员的出场顺序都发生变化的概率为 .
10.现有A,B,C三个不透明的盒子,A盒中装有红球、黄球、蓝球各一个,B盒中装有红球、黄球各一个,C盒中装有红球、蓝球各一个,这些球除颜色外其余都相同.现分别从A,B,C三个盒子中任意摸出一个球.
(1)从A盒中摸出红球的概率为 ;
(2)用画树状图的方法,求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.
11.(1)现有四根只有颜色不同的绳子,其中红色两根,黄色、蓝色各一根,从中随机抽取两根,恰好黄色、蓝色各一根的概率是多少
(2)如图把三根绳子AA1,BB1,CC1穿入一个不透明的管中,从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中也随机选两个打一个结,求这三根绳子能连成一根长绳的概率.
答案
第1课时 用树状图或表格求概率
1.D 设小明为A,爸爸为B,妈妈为C,则所有可能出现的结果是ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,
所以他的爸爸、妈妈相邻的概率是=.
故选D.
2.A 从长度分别为4,6,7,11的四条线段中任选三条有如下四种情况:
4,6,7;4,7,11;4,6,11;6,7,11.
其中能构成三角形的有4,6,7;6,7,11这两种情况,
所以能构成三角形的概率是=.
故选A.
3.C 把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A,B,C.
画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种,
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为=.
故选C.
4. 列表格,得:
4 5
2 24,42 25,52
3 34,43 35,53
因为一共有8种等可能的结果,其中是“5”的倍数的结果有2种,
所以组成的两位数恰好是“5”的倍数的概率为=.
5. 依题意列表如下:
n m 1 2 3
1 (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,3)
3 (3,1) (3,2)
当m2-4n>0时,关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等的实数根,而使得m2-4n>0成立的m,n有2组,即(3,1)和(3,2),则关于x的方程x2+mx+n=0有两个不相等的实数根的概率是.
6.解:(1)随机
(2)列表如下:
A B C D
A (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D)
共有12种等可能的结果,其中A,B两名志愿者被选中的结果有2种,
所以A,B两名志愿者被选中的概率为=.
7.解:(1)
(2)画树状图如图:
共有12种等可能的结果,抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种,
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为=.
8.D
9. 画树状图如下:
因为共有6种等可能的结果,抽签后每名运动员的出场顺序都发生变化的有2种情况,
所以抽签后每名运动员的出场顺序都发生变化的概率为=.
10.解:(1)
(2)画树状图如图所示:
由图可知,共有12种等可能的结果,其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种,所以摸出的三个球中至少有一个红球的概率为=.
11.解:(1)列表如下:
红 红 黄 蓝
红 红红 黄红 蓝红
红 红红 黄红 蓝红
黄 红黄 红黄 蓝黄
蓝 红蓝 红蓝 黄蓝
由表可知,共有12种等可能的结果,其中黄色、蓝色各一根的结果有2种,
所以从中随机抽取两根,恰好黄色、蓝色各一根的概率==.
(2)左端打结有AB,AC,BC三种可能,右端打结有A1B1,A1C1,B1C1三种可能,
画树状图如下:
由图可知,共有9种等可能的结果,其中这三根绳子能连成一根长绳的结果有6种(ABA1C1,ABB1C1,ACA1B1,ACB1C1,BCA1B1,BCA1C1),
所以这三根绳子能连成一根长绳的概率==.第2课时 利用概率判断游戏的公平性
命题点 事件公平性的判断
1.小明和小亮玩一种游戏:三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,现将标有数字的一面朝下,小明从中任意抽取一张,记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和,若和为奇数,则小明胜;若和为偶数,则小亮胜.获胜概率大的是 ( )
A.小明 B.小亮 C.两人一样 D.无法确定
2.“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”“石头”“布”中的一种,规则:剪刀胜布,布胜石头,石头胜剪刀,若双方出现相同手势,则算打平.若小刚和小明两人只比赛一局,则两人打平的概率P= .
3.(2021遵义)现有A,B两个不透明的袋子,A袋中的四个小球分别标有数字1,2,3,4,B袋中的三个小球分别标有数字1,2,3.(每个袋中的小球除数字外,其他完全相同)
(1)从A,B两个袋中各随机摸出一个小球,则两个小球上数字相同的概率是 .
(2)甲、乙两人玩摸球游戏,规则:甲从A袋中随机摸出一个小球,乙从B袋中随机摸出一个小球,若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数,则甲胜;否则乙胜.用列表或画树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平.
4.甲、乙两人所持不透明口袋中均装有三张除所标数不同外其他完全相同的卡片,甲口袋中的三张卡片上所标数分别为0,-1,3,乙口袋中的三张卡片上所标数分别为-5,2,7,甲、乙两人均从自己的口袋中任取一张卡片,并将卡片上的数分别记为m,n.
(1)请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
(2)现制定这样一个游戏规则:若m,n能使得关于x的方程x2+mx+n=0有实数根,则称甲胜;否则称乙胜.这样的游戏规则公平吗 请你用概率知识说明理由.
5.在课外活动时间,小王、小丽、小华做“互相踢毽子”游戏,毽子从一人传到另一人就记为踢一次.
(1)若从小丽开始,经过两次踢毽后,毽子踢到小华处的概率是多少(用画树状图或列表的方法说明)
(2)若经过三次踢毽后,毽子踢到小王处的可能性最小,请确定毽子是从谁开始踢的,并说明理由.
6.“手心、手背”是在同学中广为流传的游戏.游戏时,甲、乙、丙三方每次出“手心”“手背”两种手势中的一种,规定:①出现三个相同的手势不分胜负,继续比赛;②出现一个“手心”和两个“手背”或者出现一个“手背”和两个“手心”时,则出一种手势者为胜,两种相同手势者为负.
(1)假定甲、乙、丙三人每次都是等可能地出“手心”或“手背”,请你分别求甲、乙、丙三位同学获胜的概率;
(2)若甲同学只出“手背”,乙、丙两位同学仍随机地出“手心”或“手背”,则甲同学获胜的可能性与(1)相比会减小吗 为什么
答案
第2课时 利用概率判断游戏的公平性
1.B 画树状图如下:
共有9种等可能的情况,其中和为偶数的有5种,所以小亮胜的概率是,那么小明胜的概率是,所以获胜概率大的是小亮.
2. 画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中两人打平的结果有3种,
∴两人打平的概率P=.
3.解:(1)画树状图如图:
共有12种等可能的结果,其中两个小球上数字相同的结果有3种,∴两个小球上数字相同的概率是=.故答案为.
(2)画树状图如下:
由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两人摸到小球的数字之和为奇数的结果有6种,两人摸到小球的数字之和为偶数的结果也有6种,∴P(甲获胜)=P(乙获胜)=,∴这个规则对甲、乙两人是公平的.
4.解:(1)画树状图如下:
所以(m,n)的所有可能结果共有9种:(0,-5),(0,2),(0,7)),(-1,2),(-1,7),(3,-5),(3,2),(3,7).
(2)不公平.理由:若关于x的方程x2+mx+n=0有实数根,则m2-4n≥0,即m2≥4n.
由(1)知,满足m2≥4n的结果有4种,
所以P(甲获胜)=,P(乙获胜)=.
所以P(甲获胜)≠P(乙获胜).
所以这样的游戏规则不公平.
5.解:(1)画树状图如下:
由树状图可知,经过两次踢毽后,毽子踢到小华处的概率是.
或列表如下:
第二次 第一次 小丽 小王 小华
小王 (小王,小丽) (小王,小华)
小华 (小华,小丽) (小华,小王)
由上表可知,毽子踢到小华处的概率是.
(2)毽子是从小王开始踢的.
理由:画树状图如下.
若从小王开始踢,三次踢毽后,毽子踢到小王处的概率是,踢到其他两人处的概率都是,因此,毽子是从小王开始踢的.
6.解:(1)画树状图如下:
因为一共有8种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中甲、乙、丙三位同学获胜的情况各有2种,
所以P(甲获胜)=P(乙获胜)=P(丙获胜)==.
(2)甲同学获胜的可能性与(1)相比不会减小.理由:
画树状图如下:
因为一共有4种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中甲获胜的情况有1种,所以甲获胜的概率仍为,故甲同学获胜的可能性不会减小.第3课时 利用概率玩“配紫色”游戏
命题点 1 计算转盘事件中的概率
1.有两个除所标数字外完全相同的转盘A和B(如图每个转盘均被分成三等份),游戏规定:两人各选择一个转盘转一次,转盘停止后,指针指向的数字较大者获胜,则选择转盘A获胜的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.如是一次数学活动课上制作的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数-1,0,1,2.若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数(当指针恰好指在分界线上时,不记,重转),则记录的两个数字都是正数的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.用中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:分别旋转两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,则可配成紫色的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.如图用两个转盘(其中一个转盘被分成两等份,另一个转盘被分成三等份)进行“配紫色”游戏:分别转动两个转盘,若其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出了蓝色,则可配成紫色.此时,配成紫色的概率是 ,出现相同颜色的概率是 .
5.在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字).游戏规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数和等于12,则为平局;若指针所指区域内两数和大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,则重转一次,直到指针指向某一扇形区域内为止).
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果;
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率.
命题点 2 计算摸球事件中的概率
6.在一个不透明的袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字不同外其余完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.(2021黑龙江)在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球,其中3个红球、2个黄球.如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回,第二次再从袋中摸出1个球,那么两次都摸到黄球的概率是 .
命题点 3 概率在抽奖游戏中的应用
8.某商场为了吸引顾客,设计了一个摸球获奖的箱子,箱子中共有20个球,其中红球2个、蓝球3个、黄球5个、白球10个,并规定:购买100元的商品,就有一次摸球的机会,摸到红、蓝、黄、白球(一次只能摸1个球)的顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元的购物券,凭购物券仍然可以在商场购物;如果顾客不愿意摸球,那么可以直接获得10元的购物券.
(1)每摸一次球所获购物券金额的平均值是多少
(2)若你在此商场购买了100元的商品,两种方式中你会选择哪种方式 为什么
命题点 4 转盘游戏中的公平性问题
9.小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出,但只有一张入场券,于是他们设计了一个“配紫色”游戏:A,B是两个可以自由转动的转盘(如),每个转盘都被分成面积相等的几个扇形,在每个扇形内涂上颜色.同时转动两个转盘,如果其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出了蓝色,那么可以配成紫色.若配成紫色,则小明去观看;否则小亮去观看.
(1)转动B盘一次,转出蓝色的概率是 ;
(2)这个游戏对双方公平吗 请说明理由.(用画树状图或列表的方法)
10.小西和小恺做转盘游戏,现有甲、乙两个转盘(如),甲转盘被等分成4个扇形,分别标有数字3,4,7,8;乙转盘被等分成3个扇形,分别标有数字3,4,7.小西转动甲转盘,转盘停止转动时,指针所指的数字记为a,小恺转动乙转盘,转盘停止转动时,指针所指的数字记为b(当指针指向两个扇形的交线时,重新转动转盘).
(1)请你用画树状图或列表的方法,求(a,b)共有几种结果.
(2)若a,b,5,6四个数字可以排成四个连续的整数(与顺序无关),则小西胜;否则小恺胜.判断上述游戏是否公平.若公平,请说明理由;若不公平,请说明理由并修改游戏规则,使游戏公平.
11.如是三个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并涂上图中所示的颜色.小强和小亮用转盘A和转盘B做一个转盘游戏:同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,或者转盘A转出了蓝色,转盘B转出了红色,那么红色和蓝色在一起配成了紫色,这种情况下小强获胜;如果两个转盘转出的颜色相同,那么小亮获胜;在其他情况下,小强和小亮不分胜负.
(1)利用画树状图或列表的方法表示出此游戏所有可能出现的结果;
(2)小强说:“此游戏不公平.”请你帮小强说明理由;
(3)请你在转盘C的空白处,涂上适当颜色,使得用转盘C替换转盘B后,游戏对小强和小亮是公平的(只需在空白处填写表示颜色的文字即可,不要求说明理由).
答案
第3课时 利用概率玩“配紫色”游戏
1.B 画树状图如下:
因为共有9种等可能的结果,其中选择转盘A获胜的有5种结果,
所以选择转盘A获胜的概率是.故选B.
2.C 画树状图如下:
因为共有16种等可能的结果,其中记录的两个数都是正数的有4种结果,
所以记录的两个数都是正数的概率是=.
故选C.
3.B
4. 列表如下:
红 蓝
蓝 (红,蓝) (蓝,蓝)
黄 (红,黄) (蓝,黄)
红 (红,红) (蓝,红)
因为一共有6种等可能的结果,配成紫色的结果有2种,出现相同颜色的结果有2种,
所以配成紫色的概率是=,出现相同颜色的概率是=.
5.解:(1)根据题意列表如下:
乙 和 甲 6 7 8 9
3 9 10 11 12
4 10 11 12 13
5 11 12 13 14
由上表可知,两数和共有12种等可能的结果.
(2)由(1)可知,两数和共有12种等可能的结果,其中和小于12的情况有6种,和大于12的情况有3种,所以李燕获胜的概率为=,刘凯获胜的概率为=.
6.C 画树状图如下:
因为共有20种等可能的结果,取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的有8种情况,所以取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是=.
故选C.
7. 画树状图如图:
共有20种等可能的结果,其中两次都摸到黄球的结果有2种,
∴两次都摸到黄球的概率为=.
8.解:(1)因为P(摸到红球)=,P(摸到蓝球)=,P(摸到黄球)=,P(摸到白球)=,
所以每摸一次球所获购物券金额的平均值是80×+30×+10×=15(元).
(2)选择摸球方式.理由:因为15>10,所以两种方式中我会选择摸球这种方式,此时较合算.
9.解:(1)
(2)这个游戏对双方公平.理由如下:
用列表法表示所有可能出现的结果如下:
B盘 A盘 蓝 蓝 红
蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝红
红 红蓝 红蓝 红红
共有6种等可能出现的结果,其中可以配成紫色的结果有3种,配不成紫色的结果有3种,
∴P(小明去观看)==,P(小亮去观看)==,
因此这个游戏对双方公平.
10.解:(1)列表如下:
乙转盘 甲转盘 3 4 7
3 (3,3) (3,4) (3,7)
4 (4,3) (4,4) (4,7)
7 (7,3) (7,4) (7,7)
8 (8,3) (8,4) (8,7)
则(a,b)共有12种结果.
(2)不公平.理由如下:
由(1)知,共有12种等可能的结果,其中使a,b,5,6能排成四个连续整数的结果有5种,
所以P(小西胜)=,P(小恺胜)=.
因为≠,所以游戏不公平.
修改规则:若a,b,5,6四个数字可以排成四个连续的整数(与顺序无关),则小西得7分;否则小恺得5分,得分高者获胜(修改游戏规则不唯一).
11.解:(1)画树状图如下:
则共有15种等可能出现的结果.
(2)因为配成紫色的有3种情况,颜色相同的有4种情况,
所以P(小强获胜)==,P(小亮获胜)=.
因为P(小强获胜)≠P(小亮获胜),
所以此游戏不公平.
(3)如图.
此时P(小强获胜)=P(小亮获胜)=.
故此游戏对小强和小亮是公平的(所涂颜色答案不唯一,合理即可).
