第2课时 利用两边及一角的关系判定三角形相似
命题点 1 利用两边成比例且夹角相等证明两三角形相似
1.如图在三角形纸片ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线剪下阴影部分的三角形后余下的三角形与△ABC相似的是 ( )
2.如图下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是 ( )
A.∠ADC=∠ACB B.=
C.∠ACD=∠B D.AC2=AD·AB
3.(2020昆明)在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图△ABC是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个),这样的格点三角形一共有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
4.如图在等边三角形ABC中,D为AC的中点,连接BD,点E在AB上,=,则和△AED相似的三角形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知:如图所示,AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是F,E.
求证:(1)△BAF∽△BCE;
(2)△BEF∽△BCA.
命题点 2 相似三角形判定的应用
6.如图已知P是边长为5的正方形ABCD内一点,且PB=3,BF⊥BP于点B,若在射线BF上找一点M,使得以B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似,则BM的长度为 ( )
A.3 B. C.3或 D.3或5
7.如图在△ABC中,D为BC上一点,BC=AB=3BD,则AD∶AC的值为 .
8.如图在△ABC中,AB=AC,P,D分别是边BC,AC上的点,且∠APD=∠B.
(1)求证:AC·CD=CP·BP;
(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.
9.已知:如图在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边AC,AB的中点,DF⊥AC,DF与CE相交于点F,AF的延长线与BD相交于点G.
(1)求证:AD2=DG·BD;
(2)连接CG,求证:∠ECB=∠DCG.
10.已知:如图在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=6 cm.某一时刻,动点M从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动,同时,动点N从点D出发沿DA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动,当点M到达点B时,两点同时停止运动.
(1)经过多长时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的
(2)是否存在某一时刻t s,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
第2课时 利用两边及一角的关系判定三角形相似
1.B
2.B A项,由∠ADC=∠ACB,∠A=∠A可得△ACD∽△ABC,此选项不符合题意;
B项,由=不能判定△ACD∽△ABC,此选项符合题意;
C项,由∠ACD=∠B,∠A=∠A可得△ACD∽△ABC,此选项不符合题意;
D项,由AC2=AD·AB,即=,且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC,此选项不符合题意.
故选B.
3.C 如图,所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个.故选C.
4.C ∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC.
又∵D是AC的中点,
∴BD⊥AC,∠ABD=30°,AD∶AC=1∶2.
∵=,∴AE∶AB=1∶4.
∴AE∶AD=1∶2=AD∶AB.
又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ADB.
∴∠AED=∠ADB=90°.
∵∠A=∠C=60°,CD∶BC=AE∶AD=1∶2,
∴△AED∽△CDB.
∵∠AED=∠DEB=90°,∠ADE=∠DBE=30°,
∴△AED∽△DEB.故选C.
5.证明:(1)∵AF⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AFB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B,
∴△BAF∽△BCE.
(2)∵△BAF∽△BCE,
∴=.
∴=.
又∵∠B=∠B,
∴△BEF∽△BCA.
6.C ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC=5.
又∵∠PBF=90°,
∴∠ABP=∠CBF=90°-∠CBP.
①若△ABP∽△MBC,则=,
即=,解得BM=;
②若△ABP∽△CBM,则=,
即=,解得BM=3.故选C.
7. ∵BC=AB=3BD,
∴==.
又∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△DBA,
∴==.
8.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,∠APD=∠B,
∴∠BAP=∠DPC.∴△ABP∽△PCD.
∴=.则AB·CD=CP·BP.
又∵AB=AC,∴AC·CD=CP·BP.
(2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP.
∵∠APD=∠B=∠C,∴∠BAP=∠C.
又∵∠B=∠B,∴△PBA∽△ABC.
∴=.
∵AB=10,BC=12,
∴=.∴BP=.
9.证明:(1)∵AB=AC,D,E分别是边AC,AB的中点,∴AD=AE.
又∵∠BAD=∠CAE,AB=AC,
∴△BAD≌△CAE.
∴∠ABD=∠ACE.
∵DF⊥AC,AD=CD,∴AF=CF.
∴∠GAD=∠ACE.∴∠GAD=∠ABD.
又∵∠GDA=∠ADB,∴△GDA∽△ADB.
∴=.∴AD2=DG·BD.
(2)∵=,AD=CD,∴=.
又∵∠CDG=∠BDC,∴△DCG∽△DBC.
∴∠DCG=∠DBC.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
又∵∠ABD=∠ACE,∴∠DBC=∠ECB.
∴∠ECB=∠DCG.
10.解:(1)设经过x s后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,
则有(6-2x)x=×3×6,
即x2-3x+2=0,
解得x1=1,x2=2.
经检验,可知x1=1,x2=2均符合题意.
∴经过1 s或2 s后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.
(2)存在.假设存在某一时刻t s,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.
由矩形的定义可得∠CDA=∠MAN=90°,
∴=或=,
即=①或=②.
解方程①,得t=,解方程②,得t=.
经检验,t=和t=都符合题意.
∴当t的值为或时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似. 第1课时 利用两角的关系判定三角形相似
命题点 1 利用两角分别相等判定两三角形相似
1.如图D,E,F,G四点在△ABC的边上,其中DG与EF相交于点H.若∠ABC=∠EFC=70°,∠ACB=60°,∠DGB=40°,则下列哪一组三角形相似 ( )
A.△BGD,△EFC B.△ABC,△EFC
C.△ABC,△BGD D.△FGH,△ABC
2.如图在△ABC中,∠BAC=90°,F是BA延长线上一点,FD⊥BC于点D,交AC于点E,则图中相似三角形共有 ( )
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
3.如图在△PAB中,点C,D在AB上,PC=PD,∠A=∠BPD.
求证:△APC∽△PBD.
4.如图在边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与点A,C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°得到BQ;连接PQ,PQ与BC交于点E,QP的延长线与AD(或AD的延长线)交于点F,连接CQ.
求证:(1)CQ=AP;
(2)△APB∽△CEP.
命题点 2 根据两三角形相似进行计算
5.如图在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD= .
6.(2021包头)如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,交AB于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为 .
7.如图在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕分别交AB,AD于点E,F.若DG=2,BG=6,求BE的长.
命题点 3 有关相似三角形的存在性问题
8.如图正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过点P作PF⊥AE于点F.
(1)求证:△PFA∽△ABE.
(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使得以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似 若存在,请直接写出x的值;若不存在,请说明理由.
9.如①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC于点E.
(1)求证:△ABF∽△COE;
(2)当O为AC边的中点,=2时,如图②,求的值;
(3)当O为AC边的中点,=n时,请直接写出的值.
答案
第1课时 利用两角的关系判定三角形相似
1.B ∵∠ABC=∠EFC=70°,∠ACB=∠ECF=60°,∴△ABC∽△EFC,故B正确.在△BDG中,∠B=70°,∠DGB=40°,则∠GDB=70°.在△ABC中,∠B=70°,∠ACB=60°,则∠A=50°,∴△ABC与△BGD不相似,△EFC与△BGD不相似,故A,C错误.∵∠HFG=∠DBG,∠HGF=∠DGB,∴△FGH∽△BGD.∵△BGD与△ABC不相似,∴△FGH与△ABC不相似,故D错误.故选B.
2.A
3.证明:∵PC=PD,∴∠PCD=∠PDC.
∴∠ACP=∠PDB.
又∵∠A=∠BPD,
∴△APC∽△PBD.
4.证明:(1)∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ,
∴BP=BQ,∠PBQ=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠PBQ.
∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,
即∠ABP=∠CBQ.
在△BAP和△BCQ中,
∵BA=BC,∠ABP=∠CBQ,BP=BQ,
∴△BAP≌△BCQ(SAS).
∴CQ=AP.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠BAD=45°,∠BCA=∠BCD=45°.
∴∠BAP=∠PCE,∠APB+∠ABP=180°-45°=135°.
易得△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=45°.
∴∠APB+∠CPQ=180°-45°=135°.
∴∠CPQ=∠ABP.
∴△APB∽△CEP.
5. ∵∠BCD=∠A,∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD.∴=,即=.
∴BD=.
6. ∵∠ACB=90°,BD⊥CB,MN⊥CB,
∴AC∥MN∥BD,∠CNM=∠CBD,
∴∠MAC=∠MBD,∠MCA=∠MDB=∠CMN,
∴△MAC∽△MBD,△CMN∽△CDB,
则==,=,
∴=,∴=,∴MN=.
7.解:因为在菱形ABCD中,∠ABC=120°,BD为对角线,
所以AB=AD,∠FDG=∠GBE=60°.
所以△ABD是等边三角形,∠A=60°.
因为DG=2,BG=6,所以BD=8.
所以AD=DB=8.
由折叠的性质,得∠EGF=∠A=60°,
所以∠DFG+∠FGD=120°,∠FGD+∠BGE=120°.
所以∠DFG=∠BGE.所以△FGD∽△GEB.
所以==.
设BE=x,则=,GE=AE=8-x,
所以FD=,则FG=AF=8-,
得=,解得x=2.8.
经检验,x=2.8是所列方程的解.
故BE的长为2.8.
8. (1)在△PFA与△ABE中,易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°,故可得△PFA∽△ABE;
(2)分两种情况列出关系式.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABE=90°,AD∥BC.
∴∠PAF=∠AEB.
∵PF⊥AE,∴∠PFA=90°=∠ABE.
∴△PFA∽△ABE.
(2)存在.x的值为2或5.
9. (1)要求证△ABF∽△COE,只要证明∠BAF=∠C,∠ABF=∠COE即可.
(2)作OH⊥AC,交BC于点H,易证△OFA和△OEH相似,根据相似三角形的对应边的比相等,即可得出所求的值.
(3)同(2)可得,=n.
解:(1)证明:∵AD⊥BC,
∴∠DAC+∠C=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°.
∴∠BAD=∠C.
∵OE⊥OB,
∴∠BOA+∠COE=90°.
又∵∠BOA+∠ABF=90°,
∴∠ABF=∠COE.
∴△ABF∽△COE.
(2)如图,过点O作AC的垂线交BC于点H,则OH∥AB.
由(1)得∠ABF=∠COE,∠BAF=∠C,
∴∠AFB=∠OEC.
∴∠AFO=∠HEO.
∵∠BAF=∠C,∠BAF+∠FAO=∠C+∠EHO=90°,
∴∠FAO=∠EHO.
∴△OFA∽△OEH.∴=.
∵OH∥AB,∴∠CHO=∠CBA.
又∵∠C=∠C,∴△CHO∽△CBA.
∴==.∴OH=AB.
而=2,∴==2.∴=2.
(3)=n.第4课时 黄金分割
命题点 1 黄金分割的定义
1.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式中成立的是 ( )
A.AC2=BC·AB B.AC2=2AB·BC
C.AB2=AC·BC D.BC2=AC·AB
命题点 2 利用黄金分割的结论进行计算
2.如图已知点P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示以PA为边的正方形的面积,S2表示长为AB,宽为PB的矩形的面积,则 ( )
A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1
3.如图在 ABCD中,点E是BC边的黄金分割点,且BE>CE,AE与BD相交于点F,那么BF∶DF的值为 .
4.把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框,使它的宽与长的比为黄金比,则这个矩形的面积为 m2.
命题点 3 黄金分割在实际生活中的应用
5.根据有关测定,当外界气温处于人体正常体温(人体正常体温约为37 ℃)的黄金比值时,人体感到最舒适,这个气温大约为 ( )
A.23 ℃ B.28 ℃ C.30 ℃ D.37 ℃
6.(2021百色)如图在△ABC中,AB=AC,∠B=72°,∠ACB的平分线CD交AB于点D,则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2,则BD= .
7.(2021德阳)我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形,边AB的长度为-1,则该矩形的周长为 .
命题点 4 有关黄金分割的证明
8.如图在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CE平分∠ACB交AB于点E.
(1)求证:点E为线段AB的黄金分割点;
(2)若AB=4,求BC的长.
9.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将作黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以点N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于点E;
第四步:过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.
10.如①,点C将线段AB分成两部分,如果=,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果=,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边的黄金分割点(如图②,AD>BD),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗 为什么
(2)三角形的中线所在直线是该三角形的黄金分割线吗
(3)研究小组在进一步探究中发现:在(1)的条件下,过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图③),则直线EF也是△ABC的黄金分割线,请你说明理由;
(4)如图④,点E是 ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是 ABCD的黄金分割线.请你画一条 ABCD的黄金分割线,使它不经过 ABCD各边的黄金分割点.
答案
第4课时 黄金分割
1.A 根据线段黄金分割的定义,得AC2=BC·AB.
2.B 根据黄金分割的概念,得=,则==1,即S1=S2.故选B.
3. ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD.
∴∠BEF=∠DAF,∠EBF=∠ADF.
∴△BEF∽△DAF.
则BE∶AD=BF∶DF.
∵BC=AD,∴BE∶BC=BF∶DF.
∵点E是BC边的黄金分割点,BE>CE,
∴BE∶BC=.∴BF∶DF=.
4.(4-8) 设这个矩形的长为x m,宽为y m,则x+y=2.
由题意,得=,
解得x=-1,y=3-,
所以这个矩形的面积为(-1)×(3-)=(4-8)m2.
5.A
6.3-
7.2+2或4
8. (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB=72°,再根据角平分线的定义求出∠BCE=36°,从而得到∠BCE=∠A,然后判定△ABC和△CBE相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理,并根据黄金分割点的定义即可得证;
(2)根据等角对等边的性质可得AE=BC,再根据黄金比求解即可.
解:(1)证明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ACB=∠B=×(180°-36°)=72°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠ACE=∠ACB=×72°=36°.
∴∠BCE=∠A=∠ACE=36°.∴AE=CE.
则∠BEC=180°-∠BCE-∠B=72°.
∴∠BEC=∠B.∴BC=CE=AE.
∵∠BCE=∠A,∠B=∠B,
∴△ABC∽△CBE.
∴=.
∴BC2=AB·BE,即AE2=AB·BE.
则点E为线段AB的黄金分割点.
(2)∵点E为AB的黄金分割点,∴=.
又BC=AE,
∴BC=·AB=×4=2-2.
9.证明:在正方形ABCD中,设AB=2a.
∵N为BC的中点,∴NC=BC=a.
在Rt△DNC中,ND===a.
又∵NE=ND,∴CE=NE-NC=ND-NC=(-1)a.
∴==.
∴矩形DCEF为黄金矩形.
10.解:(1)对.理由如下:
设△ABC的边AB上的高为h,
则S△ADC=AD·h,S△BDC=BD·h,S△ABC=AB·h,
∴=,=.
∵点D为边AB的黄金分割点,AD>BD,
∴=.∴=.
∴直线CD是△ABC的黄金分割线.
(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,分别记为S1,S2,
∴S1=S2=S,即≠,
故三角形的中线所在直线不是该三角形的黄金分割线.
(3)∵DF∥CE,
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高相等.
∴S△DFC=S△DFE.
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF.
同理可得S△BDC=S四边形BEFC.
又∵=,∴=.
因此,直线EF也是△ABC的黄金分割线.
(4)画法不唯一,现提供两种画法:
画法一:如图①,取EF的中点G,过点G作一条直
线分别交AB,DC于M,N两点,则直线MN就是 ABCD的黄金分割线;
画法二:如图②,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作FM∥EN交AB于点M,连接MN,则直线MN就是 ABCD的黄金分割线.第3课时 利用三边的关系判定三角形相似
命题点 1 利用三边成比例证明两三角形相似
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 ( )
A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm
2.若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比
( )
A.增加了10% B.减少了10%
C.增加了(1+10%) D.没有改变
3.要做两个形状为三角形的框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似,该三角形框架的另两边长可以是 .
4.如图已知==.求证:∠BAD=∠CAE.
5.如图已知点A',B',C'分别在OA,OB,OC上,AB∥A'B',=,=.求证:△ABC∽△A'B'C'.
6.如图所示,在矩形ABCD中,BC=3AB,E,F是BC边的两个三等分点,连接AE,AF,AC.图中是否存在非全等的相似三角形 若存在,请指出,并说明理由.
命题点 2 网格与相似
7.如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是 ( )
8.如图已知△ABC和△PBD都是正方形网格中的三角形(顶点为网格线的交点),△ABC∽△PBD,则点P的位置应落在( )
A.点P1上 B.点P2上
C.点P3上 D.点P4上
9.在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图在边长为1个单位长度的小正方形组成的5×5的网格中,以A,B为顶点作格点三角形,使其与△OAB相似(相似比不能为1),则另一个顶点C的坐标为
.
10.如图方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF的边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连接相应线段,不必说明理由).
11.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到点C时,两点都停止运动.设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长.
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S∶S△ABC=9∶100.若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形
答案
第3课时 利用三边的关系判定三角形相似
1.C
2.D ∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C',∴△ABC与△A'B'C'的三边成比例.
∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠B'=∠B.故选D.
3.,3或,或,
题中没有指明长为2的边与原三角形的哪条边对应,所以应分情况讨论:
(1)若长为2的边与长为4的边相对应,则另两边长为和3;
(2)若长为2的边与长为5的边相对应,则另两边长为和;
(3)若长为2的边与长为6的边相对应,则另两边长为和.
故三角形框架的另两边长可以是,3或,或,.
4.证明:∵==,
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
5.证明:∵AB∥A'B',
∴∠OA'B'=∠OAB,∠OB'A'=∠OBA.
∴△OA'B'∽△OAB.
∴==.
∵=,=,
∴==.
∴△ABC∽△A'B'C'.
6.解:图中存在非全等的相似三角形,即△EAF∽△ECA.理由如下:
因为四边形ABCD是矩形,
所以∠B=90°.
设AB=k,则BC=3AB=3k.
因为E,F是BC边的两个三等分点,
所以BE=EF=FC=BC=k.
由勾股定理,得AE==k,AF==k,AC==k.
因为==,==,==,
所以==.
所以△EAF∽△ECA.
7.A 根据题意,得AB=,AC=2,BC=,
∴BC∶AC∶AB=1∶∶.
A项,三边之比为1∶∶,图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似;
B项,三边之比为∶∶3,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;
C项,三边之比为1∶∶2,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似;
D项,三边之比为2∶∶,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似.
故选A.
8.B 由题图知∠BAC是钝角,又△ABC∽△PBD,
则∠BPD一定是钝角,∠BPD=∠BAC.
设小正方形的边长均为1.
∵BA=2,AC=2,
∴BA∶AC=1∶.
∴BP∶PD=1∶或BP∶PD=∶1.
只有点P2符合这样的要求,故点P应该在点P2上.
故选B.
9.(5,2)或(4,4)
∵OA=2,OB=1,AB=,
∴当AB与AC对应时,
有=或=.
∴AC=或AC=5.
∵点C在格点上,
∴AC=不合题意,则AC=5.
∴点C的坐标为(5,2).
同理,当AB与BC对应时,可求得BC=或BC=5,也是只有后者符合题意,此时点C的坐标为(4,4).
∴点C的坐标为(5,2)或(4,4).
10.解:(1)△ABC∽△DEF.
理由:根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5;DE=4,DF=2,EF=2.
∵==,==,==,∴==.
∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可.
△P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,△P4P5D,△P2P4P5,△P1FD.图略.
11. (1)利用勾股定理可求出AB的长,再用等积法可求出线段CD的长.
(2)过点P作PH⊥AC,垂足为H,通过三角形相似即可用含t的代数式表示PH,从而可以求出S与t之间的函数表达式;利用S∶S△ABC=9∶100建立关于t的方程,解方程即可解决问题.
(3)可分三种情况进行讨论:由CQ=PC可建立关于t的方程,从而求出t;由PQ=PC或CQ=PQ不能直接得到关于t的方程,可借助等腰三角形三线合一及三角形相似的性质,建立关于t的方程,从而求出t.
解:(1)∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=BC·AC=AB·CD.
∴CD===4.8.
∴线段CD的长为4.8.
(2)过点P作PH⊥AC,垂足为H,如图 所示.
由题可知DP=t,CQ=t,则PC=4.8-t.
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B.
∵PH⊥AC,∴∠CHP=90°.
∴∠CHP=∠ACB.
∴△PCH∽△ABC.
∴=,即=.
∴PH=-t.
∴S=CQ·PH=t-t=-t2+t(0≤t≤4.8).
存在某一时刻t,使得S∶S△ABC=9∶100.
∵S△ABC=×6×8=24,且S∶S△ABC=9∶100,
∴-t2+t∶24=9∶100.
整理,得5t2-24t+27=0,
即(5t-9)(t-3)=0,解得t=或t=3.
∵0≤t≤4.8,
∴当t的值为或3时,S∶S△ABC=9∶100.
(3)①若CQ=PC,则t=4.8-t,
解得t=2.4;
②若PQ=PC,过点P作PH⊥AC于点H,如图 .
∵PQ=PC,PH⊥QC,
∴QH=CH=CQ=.
由(2)知△PCH∽△ABC,∴=,
即=,解得t=;
③若CQ=PQ,过点Q作QE⊥CP,垂足为E,如图 .
∵CQ=PQ,∴CE=EP=CP=.
∵∠ACD=∠B,∠QEC=∠ACB=90°,
∴△QCE∽△ABC.∴=,
即=,解得t=.
综上所述,当t的值为2.4或或时,△CPQ为等腰三角形.
