北师大版（新）八上-2.7 二次根式【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
2.7 二次根式
1 二次根式及其性质
一、学生起点分析
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．
二、教材任务分析
本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．
为此，确定本节课教学目标是：
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索二次根式的性质．
3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；
第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：明晰概念
问题1 ：，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
介绍二次根式的概念。一般地，式子叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：．
问题2：二次根式怎样进行运算呢？
答：这是我们本节课要解决的新问题．
意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．
第二环节：探究性质
（一）内容：通过探究得出，
．
具体过程如下：
（1）＝　　　，
＝　　　；
＝　　　　，＝ ；
＝ ，＝ ； ＝ ，＝ ．
（2）用计算器计算：
＝　　　　，＝　　　；＝ ，＝ ．
问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？
意图：最终归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．
说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．
第三环节：知识巩固
例1 化简（1）；（2）；（3）。
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.
被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
例2 化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
答案：（1）；
（2）；
（3）=；
（4）；
（5）．
问题：
（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。
说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．
反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．
第四环节：知识拓展
说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去．
练习：
1.下列平方根中, 已经简化的是（ ）
A. B. C. D.
2.判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号 。
① （ ） ； ② ( )
③ （ ）； ④( )
你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并说明n的取值范围？
第五环节：课堂小结
本节课主要内容：
（1）掌握并会运用公式：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．
（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．
五、教学反思
（一）关注类比，提出重点
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．
（二）对运算技能要求恰当定位
根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求。
（三）分层教学
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．
二次根式的乘法
【知识与技能】
理解=（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化简.
【过程与方法】
由具体数据发现规律，导出=（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.
【情感态度】
通过探究=（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.
【教学重点】
=（a≥0,b≥0），及它的运用.
【教学难点】
发现规律，导出=（a≥0,b≥0）.
一、情境导入，初步认识
1.填空：
参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.
2.利用计算器计算填空.
【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出=（a≥0,b≥0）.
二、思考探究，获取新知
（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.
教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.
一般地，对二次根式的乘法规定为
=（a≥0，b≥0）.：
【教学说明】引导学生应用公式
=（a≥0,b≥0）.
三、运用新知，深化理解
1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（ ）
A.3cm B.3cm C.9cm D.27cm
【答案】1.B 2.C 3.A 4.D
【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.
四、师生互动，课堂小结
1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.
2.教师总结归纳二次根式的乘法规定=（a≥0,b≥0）.
【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.
1.布置作业：从教材“习题”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出=（a≥0,b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.
二次根式的加减
【知识与技能】
1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.
2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.
【过程与方法】
通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.
【情感态度】
形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.
【教学重点】
二次根式加减法的运算.
【教学难点】
探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.
一、情境导入，初步认识
1.合并同类项：
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2.
解：（1）5x；（2）4x2.
这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.
2.化简：
3.如何进行二次根式的加减计算 先化简，再合并.
4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如2与3；2、3与5.
二、思考探究，获取新知
例1计算：
例2计算：
【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.
例3计算：
【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.
三、运用新知，深化理解.
1.下列计算是否正确？为什么？
【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.
四、师生互动，课堂小结
请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.
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