北师大版（新）八上-4.4 一次函数的应用【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
4.4 一次函数的应用
1 一次函数的表达式的求法
一、学生起点分析
本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念 ---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于、的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．
本节课的教学目标是：
①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．
②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；
③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置．
第一环节　复习引入
内容：提问：（1）什么是一次函数？
（2）一次函数的图象是什么？
（3）一次函数具有什么性质？
目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．
第二环节　初步探究
内容1：
展示实际情境
提供两个问题情境，供老师选用．
实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间
的关系如图所示．
（1）这是一次多少米的赛跑？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）甲、乙二人的速度分别是多少？
（4）求甲、乙二人与的函数关系式．
目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．
教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．
内容2：
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量、，所以需要两个条件来确定．
第三环节　深入探究
内容1：
例1 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度．
解：设，根据题意，得
14.5=， ①
16=3+，②
将代入②，得．
所以在弹性限度内，．
当时，（厘米）．
即物体的质量为千克时，弹簧长度为厘米．
目的：
引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．
教学注意事项：
学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到与间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．
内容2：
想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．
求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．
2．根据已知条件列出有关方程．
3．解方程．
4．把求出的k，b值代回到表达式中即可．
目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．
第四环节　反馈练习
内容：
1．如图，直线是一次函数的图象，求它的表达式．
2．若一次函数的图象经过A（－1，1），则 ，该函数图象经过点B（1， ）和点C（ ，0）．
３．如图，直线是一次函数的图象，填空：
（1） ， ；
（2）当时， ；
（3）当时， ．
４．已知直线与直线平行，且与y轴交于点（0，2），求直线的表达式．
答案：
１．
２．．
３．（1） ；
（2）；
（3）．
４．．
目的：四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．
效果：四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．对于问题４，教师可引导学生分析，并教学生要学会画图，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．
第五环节　课时小结
内容：
总结本课知识与方法
1．本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出，的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；（3）解方程，求k，b；4．把k，b代回表达式中，写出表达式．
2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．
目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
第六环节　作业布置
习题４．５：１，２，３，４
目的：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．
四、教学设计反思
1.设计理念
本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题．本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．
2．突出重点、突破难点策略
探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获．
3.分层教学
根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择拓展资源中内容进行补充或拓展，也可留作课后作业．
4.4.2 一次函数的实际应用
一、教学目标
1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维。
2、能利用函数图象解决简单的实际问题，
3、初步体会方程与函数的关系。
二、能力目标
1、通过函数图象获取信息，培养学生的数形结合意识。
2、根据函数图象解决简单的实际问题，发展学生的教学应用能力。
3、通过方程与函数关系的研究，建立良好的知识联系。
三、情感目标
通过函数图象解决实际问题，培养学生的数学应用能力，同时培养学生良好的环保意识和热爱生活的意识。
四、教学重点
一次函数图象的应用
五、教学过程
1、新课导入
在前几节课里，我们分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图象的应用。
2、讲授新课
（1）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，干旱持续时间t（天）与蓄水量V（万米3）的关系如下图所示，回答下列问题：
①干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？
②蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报。干旱多少天后将发出严重干旱警报？
③按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
请大家根据图象回答问题，有困难的同学，请与同伴互相交流。
分析：
（1）求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值。当t=10时，V约为1000万米3。同理可知当t为23天时，V约为750万米3。
（2）当蓄水量小于400万米3时,将发出严重干旱警报,也就是当V等于400万米3时，求所对应的t值。t约为40天。
（3）水库干涸也就是V为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求。当V为0时，所对应的t的值约为60天。
练一练
某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y（升）与摩托车行驶路程x (千米)之间的关系如图所示。
根据图象回答下列问题：
（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？
（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
分析：（1）函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程。
（2）x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数量即为消耗的数量。
（3）当y小于1时，摩托车将自动报警。
3、课堂练习
1、看图填空
（1）当y=0时，x=_____________；（2）直线对应的函数表达式是_______。
解：（1）观察图象可知当y=0时，x=-2；（2）直线过（-2，0）和（0，1）设表达式为y=kx+b，得
-2k+b=0 ①
b=1 ②
把②代入①得 k=0.5，所以直线对应的函数表达式是y=0.5x+1。
4、议一议
一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？（当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解。函数y=0.5x+1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解。
六、课后小结
1、通过函数图象获取信息。
2、利用函数图象解决简单的实际问题。
3、初步体会方程与函数的关系。
七、课后作业
P 92习题4.6
教后感：通过函数图象获取信息，解决实际问题，培养学生的形象思维及数学应用能力，同时培养学生良好的环保意识和热爱生活的意识及利用函数图象解决简单的实际问题通过方程与函数关系的研究，建立良好的知识联系。
4.4.3 一次函数的综合应用
一、教学目标
1、进一步训练学生的识图能力
2、能利用函数图象解决简单的实际问题。
二、能力目标
1、通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识。
2、通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。
三、情感目标
通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题。
四、教学重点
一次函数图象的应用。
五、教学过程
1、新课导入
上节课我们学习了一次函数在水库蓄水量与干旱持续时间方面的应用，还有一次函数在摩托车油箱中的剩余油量与行驶路程方面的应用，一次函数的应用不仅仅是在这两个方面，本节课我们继续学习它的应用。
2、讲授新课
（一）例题讲解
如上图，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， L 2反映了该公司产品的销售量的关系，根据图象填空。
①当销售量为2吨时，销售收入=_______元，销售成本=_____元；
②当销售量为6吨时，销售收入=________元，销售成本=_____元；
③当销售量等于______时，销售收入等于销售成本；
④当销售量________时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_______时，该公亏损（收入小于成本）；
⑤L1对应的函数表达式是_______；L2对应的函数表达式是________________。
分析：（1）当销售量为2吨时，销售收入=2000元，销售成本为3000元；
（2）当销售量为6吨时，销售收入=6000元，销售成本=5000元；
（3）当销售量等于4吨时，销售收入等于销售成本；
（4）当销售量大于4号时，该公司赢利，当销售量小于4吨时，该公司亏损。
（5）L1经过原点和（4，4000），设表达式为y=kx，把（4，4000）代入，得
4000=4k，所以k=1000
所以L1的表达式为y=1000x，L2经过点（0，2000）和（4，4000），设表达式为y=kx+b。
根据题意，得
b=2000 ①
4k+b=4000 ②
把①代入②，得4k+2000=4000，所以k=500
所以L2的表达式为y=500x+2000
例2：我边防局接到情报，近海外有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶，如下图：
在下图中，L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离S（海里）与追赶时间t（分）之间的关系。根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？
（2）A、B哪个速度快？
（3）15分内B能否追上A？
（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？
（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查。照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？
分析：解：观察图象，得
（1）当t=0时，B距离海岸0海里，即s=0，故L1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
（2）t从0增加到10时，L2，的纵坐标增加了2，而L1的纵坐标增加5，即10分内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快。
（3）延长L1，L2，可以看出，当t=15时，L1上对应点在L2上对应点的下方，这表明，15分时B尚未追上A。
（4）如下图，L1，L2相交于点P，因此，如果一直追直去，那么B一定能追上A。
（5）下图中，L1与L2交点P的纵坐标小于12，这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A。
六、课后作业
P 95习题4.7
教后感：通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，进一步训练学生的识图能力, 利用函数图象解决简单的实际问题。使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题。
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