北师大版（新）八上-5.4 应用二元一次方程组——增收节支【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
5.4　应用二元一次方程组——增收节支（教案）
教学目标
知识与技能：1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系,列出相应的二元一次方程组解决简单的实际问题.
2.加强学生列方程组的技能训练,形成解决实际问题的一般性策略.
过程与方法：通过列方程组解决实际问题.
情感态度与价值观：1.通过列方程组解决实际问题,培养应用数学的意识,提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.
2.培养学生的创新能力以及克服学习中困难的精神.
教学重难点
【重点】用列表的方式分析题目中的各个量的关系,加强学生列方程组的技能训练.
【难点】借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.
教学准备
【教师准备】预想学生在列方程、解方程过程中可能遇到的问题.
【学生准备】总结列方程解决实际问题应注意的事项.
教学过程
一、导入新课
导入一:在当地农业技术部门指导下,小明家增加种植菠萝的投资,使今年的菠萝喜获丰收,下面是小明和爸爸、妈妈的一段对话.
请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入.(收入-投资=净赚)
[设计意图]　本环节应给学生充足的时间进行练习和探究,通过学生参加的社会实践活动入手,采取变式的形式让学生对于本节课的内容产生一定的兴趣.
导入二:师:同学们,假设你是一个成功的企业家,你觉得如何让企业增加更多利润呢
生1:调动员工的工作积极性!
生2:扩大生产!
生3:多种经营,增加收入!
生4:减少不必要的开支,降低成本!
……
师:很好!只要我们增加收入,减少不必要的开支,我们的生活会越来越好!那就让我们共同来探究增收节支的问题吧!(板书课题)
[设计意图]　转换角色,激发学生的学习兴趣,同时点明主题,让学生明确本节课的任务.
　新知构建
　[过渡语]　通过列二元一次方程组,可以帮助我们解决生活中的许多问题.
(1)、问题引入
思路一:某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元
设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则有:
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年
问题1:某工厂去年的总收入设为x万元,今年的总收入比去年增加了20%,今年的总收入为　　　　.
学生通过分析得出:今年的总收入=去年的总收入×(1+20%)=(1+20%)x万元.
问题2:这个工厂去年的总支出设为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出为　　　　.
生:今年的总支出=去年的总支出×(1-10%)=(1-10%)y万元.
问题3:这个工厂今年的利润为780万元,根据问题1,2,可得　　　　　　　　=780万元(利润=总收入-总支出).
生:根据“利润=总收入-总支出”,得出(1+20%)x-(1-10%)y=780万元.
师:题中是否蕴含着第二个方程,如果有,让学生列出方程组并解方程组.
[设计意图]本环节的安排,让学生真正地感受到数学来源于生活,通过自己亲身经历的事情以及遇到的一些常见的数学问题,要求学生能回顾一下增收节支的一些基础问题并解决这些问题,使学生能了解一下利润问题,为本节课的学习减少了一些困难.
思路二:出示教材引例,让学生小组讨论完成表格,并解答.
生:讨论得出下列内容:
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1+20%)x (1-10%)y 780
　　根据题意,得解得
师:若条件不变,求今年的总收入,总支出各是多少万元.
若设今年的总收入为x万元,总支出为y万元,则
请同学们解出这个题.
生:讨论得出
师:解题的过程烦琐吗 这个题有没有更好的解决办法
学生讨论探索,得出可设间接未知数,设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,计算更方便些.
[设计意图]　通过学生熟悉的生活中的经济问题去激发学生学习本节课的兴趣.让学生明确“利润=收入-支出”这个关系式,为后面的学习做好铺垫,打下基础.通过完成表格使学生初步感受用适当的图表,可以帮助理清题目中的数量关系,从而提高分析问题和解决问题的能力.在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能.
(2)、例题讲解
　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要
师:每餐甲、乙原料中含蛋白质及铁质应如何表示呢
生:每餐甲原料中含蛋白质=0.5×每餐甲原料的质量;每餐乙原料中含蛋白质=0.7×每餐乙原料的质量;每餐甲原料中含铁质=1×每餐甲原料的质量;每餐乙原料中含铁质=0.4×每餐乙原料的质量.
师:设每餐需甲原料x g,乙原料y g,那么你们能完成下面的图表吗
甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
　　[处理方式]　学生分析独立作答,教师巡视、指导学生,待学生完成后,教师用实物投影展示答案.
甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质 0.5x单位 0.7y单位 35单位
其中所含铁质 x单位 0.4y单位 40单位
师:你能从上面图表中找出等量关系吗
生:可知等量关系为:营养品中的蛋白质=甲原料中所含蛋白质+乙原料中所含蛋白质;营养品中的铁质=甲原料中所含铁质+乙原料中所含铁质.
师:根据等量关系,列出方程组,请完成问题的解答.
[处理方式]　学生独立解决,教师巡视、指导学生,鼓励学生板演,完成后,教师校正答案、评价,并展示正确答案,规范解题步骤.
解:设每餐需甲原料x g,需乙原料y g,
根据题意,得
化简,得
由①-②得5y=150,y=30.
将y=30代入①,得x=28.
所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g.
师:由此我们可知,图表分析有利于理清题中的未知量、已知量以及等量关系,很容易列出方程组解决问题.
[设计意图]　通过“例题探索”使学生初步学会建立适当的图表,理清题目中的数量关系,列出方程组,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展]　列方程组解应用题时应掌握的几个技巧:(1)列方程组时,要抓住关键词语,如:和、差、倍、几分之几、多、少、大、小等,要挖掘各类问题中的相等关系,如:相遇问题,相遇时二人所走路程之和等于两地的距离;浓度问题,稀释前后溶质不变;追及问题,速度差×时间=追及前相隔距离等;(2)借助几何图形或表格,帮助我们理解题意,如:工程问题、行程问题可以利用线段图形来分析理解,浓度问题可以借助表格来帮助理解题意;(3)注意检验,检验所求是否为正确的解答,既要检验所求结果是否为方程组的解,又要检验是否符合题意.
三、课堂总结
四、课堂练习
1.21枚1角与5角的硬币,共是5元3角,其中1角与5角的硬币各是多少 设1角硬币x枚,5角硬币y枚,填写下表,并求出x,y的值.
1角 5角 总和
硬币数 x y 21
钱数 5元3角
　　解:填表如下:
1角 5角 总和
硬币数 x y 21
钱数 x 5y 5元3角
　　根据题意得解得
2.某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元,其中甲种水每桶8元,乙种水每桶6元;乙种水的桶数是甲种水桶数的75%.设买甲种水x桶,买乙种水y桶,则所列方程组中正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
答案:A
下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价.(收盘价:股票每天交易结束时的价格)
时间 种类　 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75
乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.15
　　某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费、税费等),该账户上星期一至星期二获利200元,星期二至星期三获利1300元,求此人持有甲、乙股票各多少股.
解:设此人持有甲、乙股票分别是x股,y股,由题意得解得答:此人持有甲、乙股票分别为1000股,1500股.
五、板书设计
4　应用二元一次方程组——增收节支
例题讲解
六、布置作业
(1)、教材作业
【必做题】教材习题5.5第1,2题.
【选做题】教材习题5.5第4题.
(2)、课后作业
【基础巩固】1.甲种电影票每张20元,乙种电影票每张15元,若购买甲、乙两种电影票共40张,恰好用去700元,则甲种电影票买了　.
小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤.妈妈:“今天买这两样菜共花了45元,上月买同重量的这两样菜只要36元.”爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨50%,排骨的单价上涨20%.”小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少.”请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元).
商店新进一批商品准备出售,若打8折出售,则10天可以售完,并能获利10000元;若打7.5折出售8天可以售完,可获利8000元.商品存放一天需要100元的存货费.求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少.
【能力提升】4.水果市场批发一种水果,价格如下表:
批发水果数量/kg x≤20 2040
批发价格/(元/kg) 6 5 4
若某水果商店两次共进50 kg这种水果,并且共付264元钱,则两次购进水果的数量分别是多少
5.用甲、乙两种原料配制某种营养液,已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表:
甲种原料 乙种原料
维生素C/kg 600 100
原料价格/(元/kg) 8 4
现要求花72元钱配制含5000单位的维生素C的一种营养液,则应分别买这两种原料各多少千克
【拓展探究】6.有四种原料:①浓度50%的酒精溶液150克;②浓度90%的酒精溶液45克;③纯酒精45克;④水45克.请你设计一种方案,只选取三种原料(各取若干或全部),配制成浓度60%的酒精溶液200克.你准备选哪三种原料 各取多少 用列方程组的方法说明你的配制方法的正确性.
【答案与解析】
1.20张(解析:设购买甲种电影票x张,乙种电影票y张,由题意得解得即甲种电影票买了20张.)
2.解法1:设上月萝卜的单价是x元,排骨的单价是y元,根据题意得解得这天萝卜的单价是(1+50%)x=(1+50%)×2=3(元),这天排骨的单价是(1+20%)y=(1+20%)×15=18(元).答:这天萝卜的单价是3元,排骨的单价是18元.解法2:这天萝卜的单价是x元,排骨的单价是y元,根据题意得解得答:这天萝卜的单价是3元,排骨的单价是18元.
3.解:设这批商品的本钱(购货价)为x元,预售总价为y元,根据题意得解这个方程组得答:这批商品的本钱为24200元,预售总价为44000元.
4.解:设第一次购进x千克,第二次购进y千克.①当x≤20,2040时,解得(不符合题意,舍去).③当205.解:设购买甲种原料x kg,乙种原料y kg,根据题意,得解这个方程组,得答:应购买甲种原料8 kg,乙种原料2 kg.
6.解:设取浓度50%的酒精溶液150克,纯酒精x克,水y克,依题意,得解得答:取浓度50%的酒精溶液150克,纯酒精45克,水5克.本题答案不唯一.
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