北师大版（新）七上-3.4 整式的加减【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
3．4．1 合并同类项
【教学目标】
知识与技能
理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
过程与方法
经历概念的形成过程和法则的探索过程,渗透分类和类比的思想方法.培养观察、归纳、概括能力,发展应用意识.
情感、态度与价值观
在独立思考的基础上,积极参与讨论,敢于发表自己的观点,从交流中获益.
【教学重难点】
重点:正确合并同类项.
难点:找出同类项并能正确合并同类项.
【教学过程】
一、复习引入
师:同学们,在上新课之前,我们先来做几个题目.
1.教师读题,指名回答.
(1)5个人+8个人= ;
(2)5只羊+8只羊= .
2.师:观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类:
8x2y,-mn2,5a,-x2y,7mn2,,9a,-,0,0.4mn2,,2xy2.
由学生小组讨论后,按不同标准进行多种分类,教师巡视后把不同的分类方法投影显示.
要求学生观察归为一类的式子,思考它们有什么共同的特征
请学生说出各自的分类标准,并且对学生按不同标准进行的分类给予肯定.
二、讲授新课
1.同类项的定义:
师:在生活中,我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x2y与-x2y可以归为一类,2xy2与-可归为一类,-mn2,7mn2与0.4mn2可以归为一类,5a与9a可以归为一类,还有、0与也可以归为一类.8x2y与-x2y只有系数不同,各自所含的字母都是x,y,并且x的指数都是2,y的指数都是1;同样地,2xy2与-也只有系数不同,各自所含的字母都是x、y,并且x的指数都是1,y的指数都是2.
像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的,0与也是同类项.
通过特征的讲述,选择所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项作为研究对象,并称它们为同类项.(板书课题:同类项)
板书由学生归纳总结得出的同类项的概念以及所有的常数项都是同类项.
2.例题讲解.
【例1】 判断下列说法是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)3x与3mx是同类项.( )
(2)2ab与-5ab是同类项.( )
(3)3x2y与-yx2是同类项.( )
(4)5ab2与-2ab2c是同类项.( )
(5)23与32是同类项.( )
(这组判断题能使学生清楚地理解同类项的概念,第(2)题中的两个代数式满足同类项的条件;第(3)题满足同类项的条件,只要运用乘法交换律即可;第(5)题两个都是常数项,属于同类项.一部分学生可能会单看指数不同,误认为不是同类项)
【例2】 游戏.
规则:一学生说出一个单项式后,指定一位同学说出它的两个同类项.
要求出题的同学尽可能使自己的题目与众不同.
请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的方法,从而揭示同类项的本质特征,进一步理解同类项的概念.
【例3】 指出下列多项式中的同类项:
(1)3x-2y+1+3y-2x-5;
(2)3x2y-2xy2+xy2-yx2.
解:(1)3x与-2x是同类项,-2y与3y是同类项,1与-5是同类项;
(2)3x2y与-yx2是同类项,-2xy2与xy2是同类项.
【例4】 k取何值时,3xky与-x2y是同类项
解:要使3xky与-x2y是同类项,这两项中x的次数必须相等,即k=2.所以当k=2,3xky与-x2y是同类项.
【例5】 若把(s+t),(s-t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项.
(1)(s+t)-(s-t)-(s+t)+(s-t);
(2)2(s-t)+3(s-t)2-5(s-t)-8(s-t)2+s-t.
解:(1)(s+t)与-(s+t)是同类项,-(s-t)与(s-t)是同类项(2)2(s-t)与-5(s-t)及(s-t)是同类项,3(s-t)2与-8(s-t)2是同类项.
通过变式训练,可进一步明晰“同类项”的意义,在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、提高识别能力.
3.合并同类项的定义.
学生讨论问题(2)可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所得结果为(21x+25y)元.
由此可得:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.(板书:合并同类项)
4.例题讲解.
【例1】 找出多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5中的同类项,并合并同类项.
解:原式=3x2y+5x2y-4xy2+2xy2+5-3
=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(5-3)
=8x2y-2xy2+2
根据以上合并同类项的实例,让学生讨论归纳,得到合并同类项的法则:
把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变.
【例2】 下列各题合并同类项的结果对不对 若不对,请改正.
(1)2x2+3x2=5x4;
(2)3x+2y=5xy;
(3)7x2-3x2=4;
(4)9a2b-9ba2=0.
解:(1)2x2+3x2=5x2;(2)3x与2y不能合并;(3)7x2-3x2=4x2;(4)正确.
(通过这一组题的训练进一步熟悉法则)
【例3】 合并下列多项式中的同类项:
(1)2a2b-3a2b+0.5a2b;
(2)a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3;
(3)5(x+y)3-2(x-y)4-2(x+y)3+(y-x)4.
(用不同的记号标出各同类项,会减少运算错误,当然熟练后可以不再标出.其中第(3)题应把(x+y)、(x-y)看作一个整体,特别注意(x-y)2n=(y-x)2n,n为正整数)
解:(1)原式=2a2b-3a2b+a2b=(2-3+)a2b=-a2b;
(2)原式=a3+b3+(-a2b+a2b)+(ab2-ab2)=a3+b3;
(3)原式=5(x+y)3-2(x-y)4-2(x+y)3+(x-y)4=3(x+y)3-(x-y)4.
【例4】 求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值,其中x=-3.
解:3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1=(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1=2x2-1,当x=-3时,原式=2×(-3)2-1=17.
试一试:把=-3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗 与上面的解法比较一下,哪种解法更简便
(通过比较两种方法使学生认识到,在求多项式的值时,常常先合并同类项,再求值,这样比较简便)
三、课堂小结
1.要牢记法则,能够熟练地合并同类项,以防止出现2x2+3x2=5x4的错误.
2.从实际问题中类比概括得出合并同类项的法则,并能运用法则正确地合并同类项.
3．4．2 去括号
【教学目标】
知识与技能
能运用运算律探究去括号法则并且利用去括号法则将整式化简.
过程与方法
经历类比带有括号的有理数的运算的过程,发现去括号时符号变化的规律,归纳得到去括号法则,培养学生观察、分析、归纳的能力.
情感、态度与价值观
培养学生主动探究、合作交流的意识以及严谨治学的学习态度.
【教学重难点】
重点:去括号法则,准确应用法则将整式化简.
难点:括号前面是“-”号,去括号时,括号内各项变号容易产生错误.
【教学过程】
一、情境引入
师:新课开始之前,老师先出几个题目给大家,你们能完成吗
1.某人带了a元钱去商店购物,先后花了b元和c元,他剩下的钱可以怎样表示 有几种表示方法
学生完成,教师点评.
2.利用合并同类项可以把一个多项式化简,在实际问题中,往往列出的式子含有括号,那么该怎样化简呢
二、讲授新课
师:请同学们观察下面的两个式子,你们知道该怎样化简吗
100t+120(t-0.5) ①
100t-120(t-0.5) ②
上面的式子①、②都带有括号,它们应如何化简
教师引导,启发学生类比数的运算,利用分配律.学生练习、交流后,教师归纳:
利用分配律,可以去括号、合并同类项,得
100t+120(t-0.5)=100t+120t+120×(-0.5)=220t-60
100t-120(t-0.5)=100t-120t-120×(-0.5)=-20t+60
我们知道,化简带有括号的整式,首先应先去括号.
上面两式去括号部分变形分别为:
+120(t-0.5)=+120t-60 ③
-120(t-0.5)=-120t+60 ④
比较③、④两式,你能发现去括号时符号变化的规律吗
教师鼓励学生通过观察试用自己的语言叙述去括号法则,然后教师板书(或用屏幕)展示:
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
特别地,+(x-3)与-(x-3)可以分别看作1与-1分别乘(x-3).
利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得:
+(x-3)=x-3 (去掉括号,括号内的每一项都没有变号)
-(x-3)=-x+3 (去掉括号,括号内的每一项都改变了符号)
去括号规律要准确理解,去括号应对括号的每一项的符号都予以考虑,做到要变都变;要不变,则都不变;另外,括号内原有几项去掉括号后仍有几项.
三、例题讲解
【例1】 化简下列各式:
(1)8a+2b+(5a-b); (2)(5a-3b)-3(a2-2b).
讲解时,先让学生判定是哪种类型的去括号,去括号后,要不要变号,括号内的每一项原来是什么符号.去括号时,要同时去掉括号前的符号.为了防止错误,题(2)中-3(a2-2b),先把3乘到括号内,然后再去括号.
解答过程,可由学生口述,教师板书.
【例2】 将下列各式去括号:
(1)+(2a-3b);(2)-(-x+1);(3)-3(2x2-3x).
解:(1)+(2a-3b)=2a-3b;
(2)-(-x+1)=x-1;
(3)-3(2x2-3x)=-3×2x2+(-3)×(-3x)=-6x2+9x.
【例3】 化简并求值:2(a2-ab)-3(a2-ab),其中a=-2,b=3.
解:2(a2-ab)-3(a2-ab)=2a2-2ab-2a2+3ab=ab.
当a=-2,b=3时,原式=ab=(-2)×3=-6.
【例4】 两船从同一港口同时出发,反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是50千米/时,水流速度是a千米/时.
(1)2小时后两船相距多远
(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米
教师多媒体展示例5,学生思考、小组交流,寻求解答思路.
思路点拨:根据船顺水航行的速度=船在静水中的速度+水流速度,船逆水航行的速度=船在静水中的速度-水流的速度.因此,甲船速度为(50+a)千米/时,乙船速度为(50-a)千米/时,2小时后,甲船行程为2(50+a)千米,乙船行程为2(50-a)千米.两船从同一港口同时出发,反向而行,所以两船之间的距离等于甲、乙两船行程之和.
解答过程由学生自主完成,教师点评.
去括号时强调:括号内每一项都要乘以2,括号前是负因数时,去掉括号后,括号内每一项都要变号.为了防止出错,可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘,然后再去括号,熟练后,可省去这一步,直接去括号.
四、课堂小结
师:去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“-”号时,括号连同括号前面的“-”号去掉,括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为“-”变“+”不变,要变全都变.当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项.
总结后,教师强调应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.法则顺口溜:去括号,看符号:是“+”号,不变号;是“-”号,全变号.
3．4．3 整式的加减
【教学目标】
知识与技能
让学生从实际背景中去体会进行整式的加减运算的必要性,并能灵活地进行整式的加减运算.
过程与方法
经历整式加减法则的概括过程,发展学生有条理的思考及语言表达能力,培养符号感.
情感、态度与价值观
认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
【教学重难点】
重点
整式的加减运算.
难点
总结出整式的加减运算的一般步骤.
【教学过程】
一、问题引入
1.做一做.
师:在上新课之前,我们先来看一下下面这道题.
某学生合唱团出场时第一排站了n名,从第二排起每一排都比前一排多一人,一共站了四排,则该合唱团一共有多少名学生参加
学生写出答案:n+(n+1)+(n+2)+(n+3).
师:上面的答案能进一步化简吗 如何化简 我们进行了哪些运算
2.教师板书题目.
化简:
(1)(x+y)-(2x-3y);
(2)2(a2-2b2)-3(2a2+b2).
师:以上化简实际上进行了哪些运算 怎样进行整式的加减运算
(从实际问题引入,让学生在实际背景下体会进行整式的加减运算的必要性,再通过复习、练习,为学生概括出整式的加减运算的一般步骤做必要的准备)
二、讲授新课
1.整式的加减:教师概括(引导学生归纳总结出整式的加减运算的步骤).
师:我们不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为:
(1)如果有括号,那么先去括号;(2)如果有同类项,再合并同类项.
2.例题讲解.
【例1】 求整式x2-7x-2与-2x2+4x-1的差.
解:(x2-7x-2)-(-2x2+4x-1)=x2-7x-2+2x2-4x+1=3x2-11x-1.
(本例应先列式,列式时注意给两个多项式都加上括号,然后进行整式的加减)
练习:一个多项式加上-5x2-4x-3等于-x2-3x,求这个多项式.
【例2】 计算:-2y3+(3xy2-x2y)-2(xy2-y3).
解:原式=-2y3+3xy2-x2y-2xy2+2y3=xy2-x2y.
(本例让学生体会整式的加减实质是去括号、合并同类项这两个知识的综合,有利于将新知识转化为已有的知识,使学生的知识结构得以更新)
【例3】 化简求值:(2x3-xyz)-2(x3-y3+xyz)+(xyz-2y3),其中x=1,y=2,z=-3.
解:原式=2x3-xyz-2x3+2y3-2xyz+xyz-2y3=-2xyz.
当x=1,y=2,z=-3时,原式=-2×1×2×(-3)=12.
(本例让学生经历求代数式的值时,应先考虑将代数式化简,在代入求值的过程中,体会先化简再求值的优越性)
【例4】 计算:(1)(2x-3y)+(5x+4y);
(2)(8a-7b)-(4a-5b).
解:(1)原式=2x-3y+5x+4y=2x+5x+4y-3y=7x+y;
(2)原式=8a-7b-4a+5b=8a-4a-7b+5b=4a-2b.
【例5】 计算:
(1)2x2-3x+1与-3x2+5x-7的和;
(2)-x2+3xy-y2与-x2+4xy-y2的差.
解:(1)(2x2-3x+1)+(-3x2+5x-7)
=2x2-3x+1-3x2+5x-7
=2x2-3x2-3x+5x+1-7
=-x2+2x-6;
(2)(-x2+3xy-y2)-(-x2+4xy-y2)
=-x2+3xy-y2+x2-4xy+y2
=-x2+x2+3xy-4xy-y2+y2
=-x2-xy+y2.
【例6】 小红家的收入分农业收入和其他收入两部分,今年农业收入是其他收入的1.5倍,预计明年农业收入将减少20%,而其他收入将增加40%,那么预计小红家明年的全年总收入是增加还是减少
解:设小红家今年其他收入为a元,则今年农业收入为1.5a元,全年总收入为a+1.5a=2.5a(元).
预计小红家明年的农业收入为1.5(1-20%)a,其他收入为(1+40%)a元,全年的总收入为
1.5(1-20%)a+(1+40%)a
=1.2a+1.4a
=2.6a(元)>2.5a(元)(a>0).
答:预计小红家明年的全年总收入将增加.
【例7】 做大小两个长方体纸盒,尺寸如下:(单位:cm)
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米
解:小纸盒的表面积是:(2ab+2bc+2ca)cm2,大纸盒的表面积是:(6ab+8bc+6ca)cm2.
(1)做这两个纸盒共用料:(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)=(8ab+10bc+8ca)(cm)2;
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料:(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)=(4ab+6bc+4ca)(cm2).
【例8】 求x-2(x-y2)+(-x+y2)的值,其中x=-2,y=.
解:原式=x-2x+y2-x+y2=-3x+y2.
当x=-2,y=时,原式=6.
三、课堂小结
教师引导学生小结:
1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合.
2.整式的加减运算的一般步骤:
(1)如果有括号,那么先算括号内的;(2)如果有同类项,则合并同类项.
3.求多项式的值,一般先将多项式化简再代入求值,这样计算简便.
4.数学是解决实际问题的重要工具.
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