人教版（新）九上-24.3 正多边形和圆【优质课件】

(共33张PPT)
24.3 正多边形和圆
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
观察下列图形他们有什么特点？
新课精讲
探索新知
1
知识点
正多边形的有关概念
三条边相等，三个角相等（60度）.
四条边相等，四个角相等（900）.
正三角形
正方形
探索新知
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
定义
探索新知
思考: 菱形是正多边形吗？矩形是正多边形呢？
菱形、矩形都不是正多边形
探索新知
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多，就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
B
C
D
思考1: 把一个圆4等分， 并依次连
接这些点，得到正多边形吗？
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
多边形是正多边形
探索新知
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
正多边形有关的概念
探索新知
例1 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.请以圆内接正五边形为例进行证明.
证明：如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE=EA， ∴AB=BC=CD=DE=EA，BCE=3AB=CDA.
∴∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
⊙O是正五边形 ABCDE的外接圆.
⌒
⌒
⌒
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⌒
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⌒
典题精讲
1.矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
2.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形
呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例.
正多边形是指边长相等，内角相等的多边形，所以，矩形、菱形都不是，正方形、等边三角形是.
各边相等的圆内接多边形一定是正多边形；
各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形,当边数是奇数时,它是正多边形；当边数是偶数时,不可以确定. （如矩形）
典题精讲
3.下列说法中，不正确的是(　　)
A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D
探索新知
2
知识点
正多边形的有关计算
例2 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 =60°，
△OBC是等边三角形，从而 正六边形的边长等于它的半径.
因此，亭子地基的周长l=6×4=24（m）.
作OP⊥BC，垂足为P. 在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC= =2（m），利用勾股定理，
可得边心距r= 亭子地基的面积S=
探索新知
正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
正多边形的有关计算：
名称 公式 说明
中心角 α为中心角，n为边数
边心距、边长、半径间的关系式 R为半径，r为边心距，α为边长
周长 P为正n边形的周长，α为边长
面积 S为正多边形的面积，P为正多边形的周长，r为边心距
典题精讲
1.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积.
2.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边
长最大不能超过(　　)
A．12 mm B．12 mm C．6 mm D．6 mm
内接正三角形
三角形的高：R÷2/3=3R/2 三角形的边长=3R/2÷sin60°=√3R
边心距=1/3×3R/2=R/2 三角形面积=1/2×√3R×3R/2=3√3R /4.
正方形
对角线长=2R，正方形的面积=（2R) /2=2R .
∵a =2R ，正方形的边长=√2R ，边心距=√2R/2.
A
探索新知
3
知识点
正多边形的作图
正多边形和圆有什么关系？你能借助圆画一个正多边形吗？
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
O
度量法①：
用量角器或 30°角的三角板度量，
使∠BAO=∠CAO=30°．
O
B
C
A
1
2
探索新知
度量法②：
用量角器度量，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
O
B
C
A
探索新知
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB、BC、CA 即可．
O
B
C
A
探索新知
用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”. 这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
探索新知
用尺规等分圆：
用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差．
典题精讲
完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3 60° 6
4 1
6
90°
120°
120°
90°
60°
2 3
2
2
2
2
3
3
18
8
12
9 3
4
6 3
学以致用
小试牛刀
1．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是( )
A．12 B．10 C．8 D．6
2．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
A
A
小试牛刀
A
B
小试牛刀
小试牛刀
小试牛刀
8．作图与证明：如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
解：(1)如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求．
小试牛刀
9．如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形
EFGH是正方形．
(1)求正六边形与正方形的面积比；
(2)连接OF，OG，求∠OGF.
小试牛刀
课堂小结
课堂小结
定理：把圆分成n（n≥3）等份：
（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
为什么n≥3？
最少3条边才能组成图形，两条边组不成图形。
同学们，
下节课见！
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