人教版（新）七上-24.1.4 圆周角数 第三课时【优质课件】

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24.1.4 圆周角
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前边我学习了圆的内接三角形，圆的内接三角形有哪些性质呢？今天我们探究的圆的内接四边形的性质，我们根据圆内接三角形的定义，想一想如何给圆内接四边形下定义呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
圆内接多边形
下面，我们探究四边形与圆的关系.
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
定义
探索新知
如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
例1
分析：由圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得四边形ABCD的四个内角都是直角，即可判定四边形ABCD一定是矩形.
解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形. 故选B.
B
探索新知
总 结
本题根据直径所对的圆周角是90°来解答.
典题精讲
1.下列说法正确的是(　　)
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
2.下列多边形中一定有外接圆的是(　　)
A．三角形　 B．四边形 C．五边形　 D．六边形
B
A
探索新知
2
知识点
圆内接四边形对角互补
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
(1) 和 所对的圆心角之和等于多少度？
∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系？
(2)∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系？
提出你的猜想，并和大家进行交流.
探索新知
我们发现：圆内接四边形的对角互补.
下面我们对它进行证明.
已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
求证：∠BCD+∠BAD= 180°，
∠ABC+∠ADC= 180°.
探索新知
证明：如图，连接OB，OD.
∵ 与 所对的圆心角之和为360°，
∠BCD和∠BAD分别为 和 所对的
圆周角，
∴∠BCD+∠BAD= 180°.
同理可证，∠ABC+∠ADC=180°.
探索新知
探索新知
圆内接四边形的对角互补.
总 结
探索新知
例2 已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠DCE为四边
形ABCD的一个外角.
求证：∠DCE=∠BAD.
证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD= 180°.
∵∠BCD＋∠DCE= 180°，
∴∠DCE=∠BAD.
探索新知
(1)在求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的对角的度数．
(2)圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两类圆周角．
总 结
典题精讲
1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，
则∠BCD的度数为(　　)
A．50°　　　　　　　　
B．80°
C．100°
D．130°
D
典题精讲
2.在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C等于(　　)
A．20° B．30° C．70° D．110°
3. 下列命题：
①圆内接平行四边形是矩形；
②圆内接矩形是正方形；
③圆内接菱形是正方形；
④任意四边形一定有外接圆．
其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
B
探索新知
3
知识点
圆内接四边形的外角等于其内对角
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
探索新知
例3 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCD的外角∠DCE=
70°，则∠BAD的度数为( )
A.140° B.110°
C.220° D.70°
分析：根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答.
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD＝∠DCE＝70°.故选D.
D
探索新知
此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接
四边形的外角等于它的内对角是解题的关键.
总 结
典题精讲
1.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝________．
2.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________.
(第1题)
(第2题)
105°
40°
学以致用
小试牛刀
1．四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，则四边形ABCD叫做__________________，⊙O叫做四边形ABCD的__________，圆内接四边形的对角________．
⊙O的内接四边形
外接圆
互补
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为 的中点．若∠A＝40°，则∠ABC＝________．
70°
小试牛刀
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是 的中点，点E是 上的一点，若∠CED＝40°，则∠ADC＝________度．
100
4．圆内接四边形的外角等于其________．
内对角
小试牛刀
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝____．
60°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，
则∠DAC的大小为(　　)
A．130°
B．100°
C．65°
D．50°
C
小试牛刀
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点F为CD上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　　)
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
B
小试牛刀
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则
∠ADC等于(　　)
A．100° B．112.5°
C．120° D．135°
B
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为(　　)
A．55° B．50°
C．45° D．40°
C
小试牛刀
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD
＝180°－130°－25°＝25°.
∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.
小试牛刀
(2)AB是⊙O的直径．
∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，
∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC
＝180°－50°－40°＝90°.
∴AB是⊙O的直径．
小试牛刀
11．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内 上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径及点B的坐标．
解：由题意知四边形AOMB为⊙C的内接四边形，
所以∠BAO＝180°－∠BMO＝180°－120°＝60°，
所以∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°.
在Rt△ABO中，由OA＝3，得AB＝2OA＝6，
所以AC＝BC＝3，
所以⊙C的半径为3，点B的坐标是(－3，0)．
课堂小结
课堂小结
圆内接四边形的角的“三种关系”：
(1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)四个内角的和是360°，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
(3)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
同学们，
下节课见！
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