人教版（新）九上-21.2.3 因式分解法【优质课件】

(共34张PPT)
21.2.3 因式分解法
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
解一元二次方程的基本思路是什么？
我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？
回顾旧知
降次
配方法，求根公式法.
新课精讲
探索新知
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？
你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
两个因式的积等于零
至少有一个因式为零
10x - 4.9x 2 = 0
x1 = 0，x2 =
x = 0
或　10 - 4.9x = 0
x(10 - 4.9x) = 0
1
知识点
用因式分解法解方程
探索新知
总 结
因式分解法的依据：
如果a·b=0， 那么a=0或b=0．
探索新知
可以发现，上例解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
思考：
解方程10x－4.9x2＝0.时，二次方程是如何降为一次的？
探索新知
例2 解方程：x(x－2)＋x－2＝0；
解：
因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元一次方程
探索新知
例3 解方程：
移项、合并同类项，得
4x2－1＝0.
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)＝0.
于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
探索新知
总 结
采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：
右化零，左分解，两因式，各求解.
2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或”
写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并
没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
典题精讲
1.解下列方程：
(1) x2＋x＝0； (2)
(3) 3x2－6x＝－3；
解：因式分解，得x(x＋1)＝0，
于是得x＝0，或x＋1＝0，
x1＝0，x2＝－1.
解：因式分解，得x(x－ )＝0，
于是得x＝0，或x－ ＝0，
x1＝0，x2＝2 3.
解：移项，化简，得x2－2x＋1＝0，
因式分解，得(x－1)2＝0， 于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.
典题精讲
3.△ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则△ABC的周长是(　　)
A．10 B．12
C．6或10或12 D．6或8或10或12
2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的
根，则该三角形的周长可以是(　　)
A．5 B．7 C．5或7 D．10
B
C
探索新知
2
知识点
用适当的方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程的方法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接开方法适合于某些特殊方程.
2．解一元二次方程的基本思路是：
将二次方程化为一次方程，即降次．
3．解一元二次方程方法的选择顺序：
先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，一般不用配方法．
探索新知
例3 用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2－2x－3＝0；
(2)2x2－7x－6＝0；
(3)(x－1)2－3(x－1)＝0.
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法；方程(3)选择因式
分解法．
探索新知
解： (1)x2－2x－3＝0， 移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
∵a＝2，b＝－7，c＝－6， ∴Δ＝b2－4ac＝97>0，
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0，
∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
探索新知
总 结
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.
典题精讲
1.解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是(　　)
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
D
2.已知下列方程，请把它们的序号填在相应最适当的解法后的横线上．
①2(x－1)2＝6； ②(x－2)2＋x2＝4； ③(x－2)(x－3)＝3；
④x2－2x－1＝0； ⑤ ⑥x2－2x－99＝0.
(1) 直接开平方法：________； (2) 配方法：____________；
(3) 公式法：____________； (4) 因式分解法：________．
①
④⑥
③⑤
②
典题精讲
3.解下列方程:
(1) 4x2－121＝0； (2) 3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3) (x－4)2＝(5－2x)2.
解：因式分解，
得(2x＋11)(2x－11)＝0，
于是得2x＋11＝0，或2x－11＝0，
x1＝－，x2＝.
移项，得3x(2x＋1)－(4x＋2)＝0，
因式分解，得(3x－2)(2x＋1)＝0，
于是得3x－2＝0，或2x＋1＝0，
x1＝，x2＝－.
移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0，因式分解，得(x－4＋5－2x)(x－4－5＋2x)＝0，
即(1－x)(3x－9)＝0，于是得1－x＝0，或3x－9＝0，x1＝1，x2＝3.
学以致用
小试牛刀
1.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)右化0：整理方程，使其右边为________；
(2)左分解：将方程左边分解为_______________的乘积；
(3)两因式：两个因式的值分别为0，降次得到两个_______________；
(4)各求解：分别解这两个一元一次方程，得到原方程的解．
0
两个一次因式
一元一次方程
小试牛刀
2.已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．
①2(x－1)2＝6； ②(x－2)2＋x2＝5；
③(x－2)(x－4)＝4； ④x2－3x－1＝0；
⑤x2－2x＋14＝0； ⑥x2＋3x＝0.
(1)直接开平方法：_______； (2)配方法：________；
(3)公式法：_______； (4)因式分解法： ________；
①
②③
④⑤
⑥
小试牛刀
3.我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此
方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2
＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学
思想是(　　)
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
A
小试牛刀
4.方程x2－5x－6＝0左边化为两个一次因式的乘积为(　　)
A．(x－2)(x－3)＝0 B．(x－2)(x＋3)＝0
C．(x－1)(x＋6)＝0 D．(x＋1)(x－6)＝0
D
5.方程x2＋x－12＝0的两个根为(　　)
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
D
小试牛刀
6.方程9(x＋1)2－4(x－1)2＝0的正确解法是(　　)
A．直接开平方得3(x＋1)＝2(x－1)
B．化为一般形式13x2＋5＝0
C．分解因式得[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0
D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
C
小试牛刀
7.解下列方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9；
2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，x1＝3，x2＝9.
(2)x2－( ＋ )x＋ ＝0
x2－( ＋ )x＋ ＝0，
(x－ )(x－ )＝0，
x1＝ ，x2＝ .
小试牛刀
(3)(2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0.
(2x＋1)2－3(2x＋1)－28＝0，
[(2x＋1)－7][(2x＋1)＋4]＝0，
(2x－6)(2x＋5)＝0，
x1＝3，x2＝ .
小试牛刀
8.关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，
Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)
＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
小试牛刀
(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围．
解：∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，
∴x1＝2，x2＝k＋1.
∵方程有一根小于1，
∴k＋1<1，解得k<0，
∴k的取值范围为k<0.
小试牛刀
9.已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方程的一个根．
(1)求a的值及方程的另一个根；
将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋
2a＝0，解得a＝2.
将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，
因式分解得(x－1)(x－3)＝0，
∴x1＝1，x2＝3. ∴方程的另一个根是x＝1.
小试牛刀
(2)一个三角形的三边长是此方程的根，求这个三角形的周长．
∵三角形的三边长都是这个方程的根，
∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．故三角形周长为3或9或7.
课堂小结
课堂小结
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)化方程为一般形式；
(2)将方程左边因式分解；
(3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．
解一元二次方程方法的口诀：
方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；b，c相等都为0，等根是0不要忘；b，c同时不为0，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方．
同学们，
下节课见！
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（任务-发布任务-选择章节）