人教版（新）九上-21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系【优质课件】

(共34张PPT)
21.2.4 一元二次
方程的根与系数的关系
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目录
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课堂小结
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情景导入
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
一元二次方程的根与系数的关系
思考1
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
探索新知
归 纳
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
探索新知
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
思考2
探索新知
由求根公式知
探索新知
归 纳
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
探索新知
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0 (2) 3x2＋7x－9＝0
(3) 5x－1＝4x2
解： x1＋x2
＝－(－6)＝6
x1x2＝－15
解：方程化为4x2－5x＋1＝0
典题精讲
1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(　　)
A．4　　 　 B．－4　　 　
C．3　 　 D．－3
2.已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是(　　)
A．0　　 　 B．2
C．－2 D．4
D
B
典题精讲
3.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1)x2－3x＝15 (2)3x2＋2＝1－4x
　解：方程化为：
x2－3x－15＝0
x1＋x2＝－(－3)＝3
x1x2＝－15.
解：方程化为：
3x2＋4x＋1＝0，
x1＋x2＝－ ， x1x2＝ .
典题精讲
3.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(3)5x2－1＝4x2＋x (4)2x2－x＋2＝3x＋1
解：方程化为：
5x -4x -x-1=0
即x -x-1=0
x1+x2=-b/a=1
x1*x2=c/a=-1
解：方程化为：
2x2－4x＋1＝0，
x1＋x2＝－－42＝2
x1x2 ＝12.
探索新知
2
知识点
一元二次方程根与系数关系的应用
例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，
求方程的另一个根和p的值．
导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另
一根，再运用两根之积求出常数项中p的值．
探索新知
解： 设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.　
又∵x1x2＝ ＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1.　　　　
探索新知
总 结
已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
探索新知
例3 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，
则k的值为________．
由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2
＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，
根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝ (x1＋x2)2－
2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，
∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4，
解得k＝1.　
导引：
k＝1
探索新知
总 结
已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值．
典题精讲
1.已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，
则另一实数根及m的值分别为(　　)
A．4，－2 B．－4，－2
C．4，2 D．－4，2
D
2.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次
方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(　　)
A．9　　　 B．10　　　
C．9或10　　　 D．8或10
B
典题精讲
3.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
解：将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得:1+a+a-2=0，
解得，a=；方程为x2+x=0，即2x2+x-3=0，
设另一根为x1，则1 x1=－x1= －
典题精讲
3.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：∵△=a2-4(a-2)
=a2-4a+8
=a2-4a+4+4=(a-2)2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
典题精讲
4.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是
x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为(　　)
A．－1或　　 B．－1　　
C.　 　 D．不存在
C
5.已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－
11a－b＋5的值为________．
23
学以致用
小试牛刀
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当______________时，方程有
实数根x1，x2.这两个根与系数的关系是：x1＋x2＝________，
x1·x2＝________．
运用根与系数的关系解决问题的前提条件是方程有实数根，
即________________．
b2－4ac≥0
b2－4ac≥0
小试牛刀
2.已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是(　　)
A．－3 B．－2
C．3 D．6
A
3.若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝(　　)
A．－4 B．3
C．－43 D.43
D
小试牛刀
4.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两实数根分别为x1＝－2，
x2＝4，则m＋n的值是(　　)
A．－10 B．10
C．－6 D．2
A
5.已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，且m≠n，则
(m－1)2＋(n－1)2的最小值是(　　)
A．6 B．3
C．－3 D．0
A
小试牛刀
6.已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等
的实数根．
(1)求k的取值范围；
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋1>0，
解得k> .
小试牛刀
(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x21＋x22的值．
解：当k＝1时，方程为x2＋3x＋1＝0，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝1，
∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－2＝7.
小试牛刀
7.关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0.
(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根．
证明：当k＝1时，原方程可化为2x＋2＝0，解得x＝－1，
此时该方程有实数根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝(2k)2－4(k－1)×2＝4k2－8k＋8
＝4(k－1)2＋4>0，
∴方程有实数根．
综上所述，无论k为何值，方程总有实数根．
小试牛刀
(2)设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝ ＋x1＋x2，
S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
解：由根与系数的关系可知
若S＝2，则：
即
课堂小结
课堂小结
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c
的关系：
2.用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及未知系数的方法：
(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项
(2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积 求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数．
同学们，
下节课见！
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