人教版（新）九上-22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质【优质课件】

(共33张PPT)
22.1.2 二次函数
y=ax 的图象和性质
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
回顾旧知
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数y=ax2的图象
　　在同一直角坐标系中，画出函数y = x2 和y =－x2 的图象，这两个函数的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？
探索新知
y=x2
y=－x2
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
0
－0.25
－1
－2.25
－4
－0.25
－1
－2.25
－4
x
0
－2
1
1.5
0.5
2
－1.5
－0.5
－1
函数图象画法
列表
描点
连线
注意：列表
时自变量取
值要均匀和
对称
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
探索新知
下面是两个同学画的 y＝0.5x2 和 y＝－0.5x2的图象， 你认为他们的作图正确吗 为什么
探索新知
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴.
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.
二次函数y=ax2的
图象形如物体抛射时所经过
的路线，我们把它叫做抛
物线.
探索新知
思考：
(1)函数y＝ x2，y＝2x2的图象与函数y＝x2(如图中的虚线图形)
的图象相比，有什么共同点和不同点？
(2)当a>0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？
一般地，当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．
探索新知
探究：
(1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－ x2，y＝－2x2的
图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
(2)当a<0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？
一般地，当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．
探索新知
例1 在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和 y3＝ x2的图象，
正确的是图中的(　　)
D
当x＝1时， y1， y2， y3的图象上的对应点分别是(1，2)，
(1，－2)， (1， )，可知， 其中有两点在第一象限，一
点在第四象限，排除B，C；在第一象限内， y1的对应点
(1， 2)在上，y3的对应点(1， )在下，排除A.
导引：
典题精讲
如图所示，四个函数的图象，分别对应的是①y＝ax2 ；②y＝bx2；
③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c＞d
B．a＞b＞d＞c
C．b＞a＞c＞d
D．b＞a＞d＞c
A
探索新知
2
知识点
二次函数y=ax2的性质
观察二次函数y=x2的图象，随着自变量的增大，函数值怎样变化？
问 题（一）
探索新知
归 纳
从二次函数y＝x2的图象可以看出：
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．
探索新知
问 题（二）
观察二次函数y=ax2的图象，有上面的结论吗？
探索新知
归 纳
从二次函数y＝ax2的图象可以看出：
如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．
探索新知
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
极值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0.
当x=0时，最大值为0.
探索新知
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=－2时，y=4
当x=－1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=－2时，y=－4
当x=－1时，y=－1
当x=1时，y=－1
当x=2时，y=－4
探索新知
例2 已知函数y＝－ x2，不画图象，回答下列各题．
(1)开口方向：__________；
(2)对称轴：_________；
(3)顶点坐标：__________；
(4)当x＞0时，y随x的增大而__________；
(5)当x________时，y＝0；
(6)当x________时，函数值y最________，是_______．
导引：根据二次函数y＝ax2(a≠0)的性质直接作答．
向下
y轴
减小
（0， 0）
=0
=0
大
0
典题精讲
1.下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是(　　)
A．图象的对称轴是y轴 B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值
D
2.已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在抛 物线y＝ x2
上，则y1，y2，y3的大小关系是 (　　)
A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3
C．y1＝y3＜y2 D．y2＜y3＝y1
D
学以致用
小试牛刀
1.二次函数y＝ax2的图象是抛物线，对称轴是________，顶点是
________．当a>0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线
的最低点；当a<0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线
的最高点．|a|越大，抛物线的开口________．
y轴
原点
向上
向下
越小
小试牛刀
减小
增大
大
2.二次函数y＝ax2的性质：
若a＞0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x
的增大而________；
当x＝0时，y取最________值0.
若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x
的增大而________；
当x＝0时，y取最________值0.
增大
减小
小
小试牛刀
3.若二次函数y＝axa2－1的图象开口向上，则a的值为(　　)
A．3 B．
C． 3 D．
C
4.若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(　　)
A．(2，4) B．(－2，－4)
C．(－4，2) D．(4，－2)
A
小试牛刀
5.关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有(　　)
①它们的图象都是抛物线；
②它们的图象的对称轴都是y轴；
③它们的图象的顶点都是点(0，0)；
④二次函数y＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象
开口向下；
⑤它们的图象关于x轴对称．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
A
小试牛刀
6.关于二次函数y＝36x2的叙述，错误的是(　　)
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
D
7.已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关
系式一定正确的是(　　)
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
C
小试牛刀
8.根据下列条件分别求a的取值范围：
(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，
y随x的增大而增大；
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值；
由题意得3a－2＜0，解得a＜ .
(3)抛物线y＝(a＋2)x2与y＝－ x2的形状相同；
由题意得|a＋2|＝ ，解得a＝－ 或a＝－ .
小试牛刀
9.如图，直线l过x轴上一点A(2，0)，且与抛物线y
＝ax2相交于B，C两点，B点坐标为(1，1)．
(1)求直线l和抛物线对应的函数解析式．
解：设直线l对应的函数解析式为y＝kx＋b.
∵直线l过点A(2，0)，B(1，1)，
∴
∴直线l对应的函数解析式为y＝－x＋2.把点(1，1)的坐标代入
y＝ax2，得a＝1.
∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2.
解得：
小试牛刀
(2)若抛物线上有一点D(在第一象限内)使得S△AOD＝S△OBC，求D点坐标．
由 得　
∴C(－2，4)．
∴S△OBC＝S△AOC－S△AOB＝ AO |yC|－ AO |yB|
＝ ×2×4－ ×2×1＝3.
∵S△AOD＝ OA |yD|＝ OA yD，
∴ ×2×yD＝3，解得yD＝3. 把y＝3代入y＝x2，得x＝ .
∵点D在第一象限内，∴D(3，3)．
课堂小结
课堂小结
从二次函数y＝ax2的图象可以看出：
如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．
从二次函数y＝x2的图象可以看出：
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．
同学们，
下节课见！
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