人教版（新）九上-22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k图象和性质 第一课时【优质课件】

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22.1.3 二次函数y=a（x-h） +k图象和性质
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗？今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质.
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数y=ax2+k的图象
思考：
观察抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1，你能说出它们的开口方向、对称轴和顶点各是什么吗？这两个图象有什么共同点？由此你能得出抛物线y＝ax2＋k有怎样的几何性质？
探索新知
探索新知
归 纳
几何性质：
（1）抛物线y＝ax2＋k开口方向由a决定，当a>0时，开口向
上，当a<0时，开口向下；
（2）对称轴是y轴；
（3）顶点坐标是（0，k）；
（4） 决定了抛物线的开口大小.
典题精讲
1.抛物线y＝ax2＋(a－2)的顶点在x轴的下方，则a的取值范
围是_____________________．
2.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数
是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
a＜2（且a≠0）
B
探索新知
2
知识点
二次函数y=ax2+k的性质
思考：
观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象，当x＜0时，y随x的增大怎样变化？当x＞0呢？由此你能得到二次函数y=ax2+k有怎样的代数性质？
探索新知
归 纳
代数性质：
(1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值k；
(2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小.
探索新知
例1 已知二次函数y=3x2+k的图象上有A( ，y1)，B(2，y2)，
C( ，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y1>y3
C. y3>y1>y2 D. y3>y2>y1
D
因为a=3>0，所以图象开口向上，因为对称轴为y轴，所以当
x>0时，y随x的增大而增大，因为x1= >0，x2=2>0，x1所以y1于点B(2，y2)到对称轴的距离，所以y2y2>y1.
导引：
探索新知
归 纳
解答此类题有两种思路，
思路一：将三点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的y1，y2，y3的值，再比较大小，但这样计算比较困难，显然不是最佳的方案；
思路二：根据二次函数图象的特征来比较，利用增减性以及点在抛物线上的大致位置，关键是这些点与对称轴的位置关系来确定y1，y2，y3的大小，显然这种方法比较简单．
探索新知
观察例1中抛物线y=2x2+1，抛物线y=2x2-1与抛物线y=2x2，它们之间有什么关系？
问 题（一）
探索新知
探索新知
归 纳
这三条抛物线的开口方向，开口大小都相同，对称轴都是y轴，把抛物线y＝2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2＋1；把抛物线y＝2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2－1.
探索新知
(1)一般地，抛物线y=ax2+k与y=ax2形状相同，位置不同；
(2)抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2平移 个单位长
度得到(当k>0时，向上平移；当k<0时，向下平移)；
(3)抛物线y=ax2+k有如下特点：当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点为(0，k).
典题精讲
1.对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(　　)
A．最小值为2 B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是y轴
C
2.抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2 (　　)得到的．
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
C
学以致用
小试牛刀
1.二次函数y＝ax2＋k的图象与抛物线y＝ax2的开口方向________，
对称轴是________，只是位置不同，可以由抛物线y＝ax2上下平
移________个单位长度得到，其顶点坐标是________．
相同
y轴
|k|
(0，k)
2.二次函数y＝ax2＋k的性质：
若a＞0，当x＞0时，y随x的增大而________；当x＜0时，y随
x的增大而__________；当x＝0时，y取最小值______．
若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而________；当x＜0时，y随
x的增大而__________；当x＝0时，y取最大值______．
增大
减小
k
减小
增大
k
小试牛刀
3.抛物线y＝ax2＋c的顶点是(0，2)，且形状及开口方向与抛物
线y＝－ x2相同，则a，c的值分别为(　　)
A．－ ，2 B．－ ，－2　
C. ，2 D. ，－2
A
4.在二次函数：①y＝3x2 ; ②y＝ x2＋1；③y＝－ x2－3中，
图象开口由大到小用序号表示为(　　 )
A．①②③ B．①③②
C．②③① D．②①③
C
小试牛刀
5.在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m
的图象可能是(　　)
D
6.已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，
且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是(　　)
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
A
小试牛刀
7.抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与
抛物线y＝－ x2相同．
(1)确定a，k的值；
(2)画出抛物线y＝ax2＋k.
解： 略．
解：由题意易知a＝－ ，
把点(0，2)的坐标代入y＝－ x2＋k，
得k＝2.
小试牛刀
8.如图，直线l经过A(3，0)，B(0，3)两点，且与二次
函数y＝x2＋1的图象在第一象限内相交于点C.
(1)求△AOC的面积；
设直线l的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把A，B两点坐标代入得:
故直线l的函数解析式为y＝－x＋3.
∵交点C在第一象限，∴C(1，2)， ∴S△AOC＝ OA |yC|＝ ×3×2＝3.
解得
由
得
小试牛刀
(2)二次函数图象的顶点为D，求△ABD的面积．
由题意可知抛物线的顶点为D(0，1)，
∴S△ABD＝ BD |xA|＝ ×2×3＝3.
小试牛刀
9.已知抛物线y＝x2－3如图所示．
(1)作出抛物线y＝x2－3关于x轴对称的图象；
画图略
易知新图象与抛物线y＝x2－3形状相同，
且顶点为(0，3)，对称轴为y轴，
∴新图象对应的函数解析式为y＝－x2＋3.
(2)求出新图象对应的函数解析式；
小试牛刀
(3)两个图象的顶点为C，D，与x轴的交点为A，B，试判断四边
形ACBD的形状，并说明理由．
四边形ACBD为菱形．理由如下：
设C(0，－3)，D(0，3)，令x2－3＝0，得x＝± .
∴A(－ ，0)，B( ，0)．
易求得AC＝BC＝BD＝AD＝2 .
∴四边形ACBD为菱形．
课堂小结
课堂小结
二次函数y=ax2+k的图象与性质：
二次函数解析式 a的符号 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y＝ax2＋k a＞0 向上 y轴 (0, k) 当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小 当x＝0时，
y最小值＝k
a＜0 向下 y轴 (0, k) 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 当x＝0时，
y最大值＝k
同学们，
下节课见！
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