人教版（新）九上-22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k图象和性质 第三课时【优质课件】

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22.1.3 二次函数y=a（x-h） +k图象和性质
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
y＝ax2
k＞0 上移
y＝ax2＋k
y＝ax2
y＝a(x－h)2
k＜0 下移
顶点在y轴上
左加
右减
顶点在x轴上
问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数y=a（x-h）2+k的图象
通过观察抛物线y=- (x+1)2 -1，你能得出抛物
线y=a(x-h)2+k有怎样的几何性质？
探索新知
归 纳
抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：
(1)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．
(2)对称轴是x＝h.
(3)顶点是(h，k)．
探索新知
例1 对于抛物线y=- (x+1)2+3，下列结论：①抛物线的开口
向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(-1， 3)，其中
正确结论的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
由二次函数y=- (x+1)2+3的解析式知，a=- <0，
∴抛物线开口向下；∵h=-1，
∴抛物线的对称轴为x=-1；由h=-1，k=3
可得顶点坐标为(-1，3).
C
导引：
探索新知
利用抛物线y=a(x-h)2+k（顶点式）中的顶点坐标，对称轴等公式解题，首先必须熟记它们之间与解析式中a，h，k之间的关系，再结合题中给出的相关条件及已学的相关知识按题目的要求解题.
总 结
探索新知
例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在
水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池
中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落
地处离池中心3 m，水管应多长？
如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．
解：
探索新知
点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是
y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．
由这段抛物线经过点(3，0)，可得
0＝a(3－1)2＋3，解得a＝－
因此y＝－ (x－1)2＋3(0≤x≤3)．
当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应2.25 m长．
典题精讲
1.抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是(　　)
A．(3，1) B．(3，－1)
C．(－3，1) D．(－3，－1)
A
2.抛物线y＝(x－1)2－3的对称轴是(　　)
A．y轴 B．直线x＝－1
C．直线x＝1 D．直线x＝－3
C
典题精讲
3.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值
范围为(　　)
A．m＞1
B．m＞0　
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
B
探索新知
2
知识点
二次函数y=a（x-h）2+k的性质
通过观察抛物线y=- (x+1)2 -1，你能得出二次函数y=a(x-h)2+k有怎样的代数性质？
探索新知
归 纳
y=a(x-h)2+k的代数性质：
(1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最大值k.
(2)如果a>0，当xh时，y随x的
增大而增大；如果a<0，当xh
时，y随x的增大而减小．
探索新知
例3 已知点A(4，y1)，B( ，y2)，C(-2，y3)都在二次函数
y=(x-2)2-1的图象上，比较y1，y2，y3的大小关系.
思路一：由顶点式可知抛物线的对称轴是直线x=2， A、B、C三点在对称轴两侧，可以利用A点的对称点转化到对称轴左侧，依据开口向上和在对称轴左侧y随x的增大而减小进行比较大小；
导引：
探索新知
思路二：二次函数解析式和三个点的横坐标都是已知的，可以把点的坐标代入解析式求三个点的纵坐标，然后比较大小；
思路三：抛物线开口向上，顶点纵坐标最小，由图象的变化趋势可知抛物线上的点距离对称轴越近 (即离顶点越近)纵坐标越小，从而进行比较大小.
探索新知
方法一：∵y=(x-2)2-1，∴对称轴为直线x=2.
∴点A(4，y1)关于x=2的对称点是(0，y1).
∵-2<0< 且a=1>0，∴y2方法二：∵A(4，y1)，B( ，y2)，C(-2， y3)
在抛物线y=(x-2)2-1上.
∴y1=3，y2=5-4 ，y3=15.
∵5-4 <3<15，∴y2解：
探索新知
方法三：设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3.
∵y=(x-2)2-1，∴对称轴为直线x=2.
∴d1=2，d2=2- ，d3=4，
∵2- <2<4，且a=1>0，
∴y2探索新知
抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法：
(1)把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化
到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较大小；
(2)当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时，
可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；
(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵
坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，
点的纵坐标越大”也可以比较大小.
总 结
探索新知
3
知识点
二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2之间的关系
思考：抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2有怎样的关系？
探索新知
探索新知
归 纳
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
探索新知
例4 将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，
抛物线的解析式为( )
A.y=(x+2)2+3 B. y=(x-2)2+3
C.y=(x+2)2-3 D. y=(x-2)2-3
先根据二次函数图象的平移规律，对自变量和函数值作相
应的变化，写出变化后的二次函数表达式，再选出正确的项.
由二次函数图象的平移规律可知，将抛物线y=x2先向右平移
2个单位所得抛物线的表达式为：y=(x-2)2，再向上平移3
个单位后，所得函数的表达式为y=(x-2)2+3，故应选B.
B
导引：
解：
探索新知
抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为：
(1)上下平移：抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m（m>0)个单位，
所得抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+m；抛物线y=a(x-
h)2+k向下平移m(m>0)个单位，所得抛物线的解析式
为y=a(x-h)2+k-m.
(2)左右平移：抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n（n>0)个单位，
所得抛物线的解析式为y=a(x-h+n)2+k；抛物线y=a(x-
h)2+k向右平移n(n>0)个单位，所得抛物线的解析式为
y=a(x-h-n)2+k.特别地，要注意其中的符号处理.
典题精讲
1.设抛物线C1：y＝x2向右平移2个单位长度，向下平移3个单位
长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是(　　)
A．y＝(x－2)2－3 B．y＝(x＋2)2－3
C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x＋2)2＋3
A
2.将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个
单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是(　　)
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
B
学以致用
小试牛刀
1.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的特征：
(1)a>0，开口________，a<0，开口________；
(2)对称轴是直线________，顶点坐标为________．
向上
向下
x＝h
(h，k)
2.二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：
若a>0，当x>h时，y随x的增大而______；当xy随x的增大而______；当x＝h时，y取最_____值_______．
若a<0，当x>h时，y随x的增大而________；当xy随x的增大而________；当x＝h时，y取最________值k.
增大
减小
小
k
减小
增大
大
小试牛刀
3.抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状______，位置______．把抛物
线y＝ax2向上(下)或左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，
平移的方向、距离要根据________的值来决定．
相同
不同
h，k
4.抛物线 的顶点坐标是(　　)
A. ，－3 B. － ，－3
C. ，3 D. － ，3
B
小试牛刀
5.二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为(　　)
D
6.已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x
≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为(　　)
A．1或－5 B．－1或5
C．1或－3 D．1或3
B
小试牛刀
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点
P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿
CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动
过程中，四边形PABQ的面积的最小值为(　　)
A．19 cm2　　　B．16 cm2
C．15 cm2　　　D．12 cm2
C
小试牛刀
8.把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再
向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ (x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，h，k的值；
a＝ ，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为(1，－5)．
小试牛刀
9.如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交
点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，对称轴为
直线x＝1.
(1)求抛物线对应的函数解析式；
由题意可知h＝1，则y＝a(x－1)2＋k.将点(3，0)，(0，3)的坐标代入上式，得:
故抛物线对应的函数解析式为y＝－(x－1)2＋4.
解得
小试牛刀
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
①当MA＝MB时，M(0，0)；
②当AB＝AM时，M(0，－3)；
③当AB＝BM时，M(0，3＋ )或M(0，3－ )．
所以点M的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋ )
或(0，3－ )．
小试牛刀
10.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1 m的
喷水管喷出的抛物线型水柱最大高度为3 m，此时距喷水管
的水平距离为 m，求在如图所示的平面直角坐标系中抛
物线型水柱对应的函数解析式(不要
求写出自变量的取值范围)．
小试牛刀
解：∵点( ，3)是抛物线的顶点，
∴可设抛物线型水柱对应的函数解析式为
y＝a(x－ )2＋3. ∵抛物线经过点(0，1)，
∴1＝(0－ )2 a＋3，解得a＝－8.
∴抛物线型水柱对应的函数解析式为:
y＝－8(x－ )2＋3.
课堂小结
课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质：
二次函数解析式 a的 符号 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y= a(x-h)2+k a＞0 向上 直线x=h (h，k) 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小 当x＝时，
y最小值
＝k
a＜0 向下 直线x=h (h，k) 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 当x＝时，
y最大值＝k
同学们，
下节课见！
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