人教版（新）九上-22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第一课时【优质课件】

(共35张PPT)
22.1.4 二次函数y=
ax +bx+c的图象和性质
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
y＝ax2
y＝a(x－h)2 ＋k
上正下负
左加右减
一般地，二次函数y＝a(x－h)2 ＋k与y＝ax2的______相同，
_______不同.
形状
位置
情景导入
请说出抛物线y=ax +k， y=a（x-h） ，y=a（x-h） +k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
你知道二次函数y= x -6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？
问 题（一）
问 题（二）
新课精讲
1
知识点
二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
探究：
如何画出y＝ x2－6x＋21的图象呢？
我们知道，像y＝a(x－h)2 ＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y＝ x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
探索新知
探索新知
y＝ x2－6x＋21
配
方
y＝ (x－6)2＋3.
你知道是怎样配方的吗？
3.“化”：化成顶
点式.
y＝ (x2－12x)＋21
y＝ (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ (x－6) 2＋21－18
y＝ (x－6) 2＋3
1. “提”：提出二次项系数；
2.“配”：括号内配成完全平方式；
探索新知
求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
探索新知
所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是：
顶点坐标是：
探索新知
例1 把下面的二次函数的一般式化成顶点式：
y＝2x2－5x＋3.
导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，
另一种是代入公式法．
解法一：用配方法：
y＝2(x2－ x)＋3，(将含x项结合在一起，提取二次项系数)
y＝ (按完全平方式的特点，
常数项为一次项系数一半的平方)
探索新知
解法二：用公式法：设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.
∵a＝2，b＝－5，c＝3，
∴
(应用完全平方公式)
探索新知
思考：抛物线y=2x2－5x＋3与抛物线y=2x2有怎样的关系？
二次函数y=2x2－5x＋3化为顶点式后为
因此抛物线y=2x2－5x＋3可以由抛物线y=2x2向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到.
典题精讲
将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为(　　)
A．y＝(x－1)2＋4
B．y＝(x－4)2＋4
C．y＝(x＋2)2＋6
D．y＝(x－4)2＋6
B
探索新知
2
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
思考：1.你能画出 　　　　　　 的图象吗？
2.如何直接画出 　　　　　　 的图象？
3.观察图象，二次函数　　　　　　　 的性质是什么？
探索新知
如果直接画二次函数y＝ x2－6x＋21的图象，可按如下步骤进行．
由配方的结果可知，抛物线y＝ x2－6x＋21的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6.
先利用图象的对称性列表：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y＝ … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
探索新知
然后描点画图，得到y＝ 的图象(如图)．
从图中二次函数y＝ x2－6x＋21的图象可以看
出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就
是说，当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，
y随x的增大而增大．
探索新知
探究：
你能用上面的方法讨论二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象和性质吗？
探索新知
3
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系
字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
字母
项目
探索新知
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那么abc，2a＋b，
a＋b＋c这3个代数式中，值为正数的有(　　)
A．3个　 B．2个　 C．1个 D. 0个
导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0.
∵对称轴x＝ ＞0，∴b＜0.
又∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∴abc＞0.∵x＝ ＞1，∴－b＞2a，即2a＋b＜0.
∵当x＝1时，抛物线上对应的点在x轴的下方，∴y＝a＋b＋c＜0.
综上所述，abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，值为正数的只有abc.
C
探索新知
总 结
二次函数y＝ax2＋bx＋c的各项系数的符号与图象位置间的关系：
(1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”；
(2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记为“上正下负原点0”；
(3)a、b的符号共同决定对称轴x＝ 的位置，简记为：
“左同右异y轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象的位置，
也可以由图象的位置来判断各项系数的符号．
典题精讲
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论正确的是(　　)
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
D
学以致用
小试牛刀
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为y＝a(x＋ )2＋
的形式，它的图象的对称轴是直线_________，顶点坐标
是____________．
2.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c, 试确定下列各式的符号：
a______0，b______0，c______0；
a＋b＋c______0，a－b＋c______0.
<
>
>
>
<
小试牛刀
减小
3.从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以看出：
如果a>0，当x<－ 时，y随x的增大而_____________；
当x>－ 时，y随x的增大而_____________；
当x＝ － 时，y取最_____________值_____________．
如果a<0，当x< － 时，y随x的增大而___________；
当x> － 时，y随x的增大而___________；
当x＝ － 时，y取最_____________值_____________．
增大
小
增大
减小
大
小试牛刀
4.对于二次函数y＝－14x2＋x－4，下列说法正确的是(　　)
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7)
D．图象与x轴有两个交点
B
小试牛刀
5.一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直
角坐标系内的图象可能是(　　)
C
小试牛刀
6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴l如图所
示，则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；
④a＋b＜0.其中所有正确的结论是(　　)
A．①③
B．②③
C．②④
D．②③④
D
小试牛刀
7.已知二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4)．
(1)求a的值；
解：由题意得－4＝9a＋12＋2，解得a＝－2.
(2)求此抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
由(1)得二次函数为y＝－2x2＋4x＋2，
可化为y＝－2(x－1)2＋4.
故抛物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.
(3)直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．
x＞1.
小试牛刀
8.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与
x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
解：把点B(3，0)的坐标代入y＝－x2＋mx＋3得:
0＝－32＋3m＋3，
解得m＝2，
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4. ∴顶点坐标为(1，4)．
小试牛刀
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，
求点P的坐标．
如图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小．
设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b，
∵C(0，3)，B(3，0)，
∴
解得
∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，
∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．
课堂小结
课堂小结
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
图象
极值
性质
顶点坐标
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质：
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
(1)开口方向 向上 向下
(2)顶点坐标
(3)对称轴　 直线x＝ 直线x＝
(4)增减性　 当x＜ 时，y随x的增大而减小；
当x＞ 时， y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大；
当x＞ 时，y随x的增大而减小
(5)最值　　 当x＝ 时，y有最小值，为 当x＝ 时，y有最大值，为
同学们，
下节课见！
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（任务-发布任务-选择章节）