人教版（新）九上-22.2 二次函数与一元二次方程 第一课时【优质课件】

(共30张PPT)
22.2 二次函数
与一元二次方程
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数与一元二次方程之间的关系
1.一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系
2.你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系
探索新知
问 题
以40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m 若能，需要多少时间
（2）球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间
探索新知
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
解：
（1）当h=15时，20t-5t2=15，
t2-4t+3=0， t1=1，t2=3.
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
探索新知
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5，t2-4t+4.1=0，
因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根
故球的飞行高度达不到20.5m.
探索新知
（4）当h=0时，20t-5t2=0，t2-4t=0，
t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
探索新知
归 纳
从以上可以看出：
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.
例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解.
例如，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.
探索新知
小 结
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
典题精讲
1.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图则关于x的方程x2＋ax
＋b＝0的解是(　　)
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
D
典题精讲
2.若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点 (－1，0)，则关于x的方
程ax2－2ax＋c＝0的解为(　　)
A．x1＝－3，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝3
D．x1＝－3，x2＝1
C
探索新知
2
知识点
二次函数与其图象与x轴的交点个数的问题
二次函数y =x2+x-2，y=x2-6x+9，y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程 x2+x-2=0 ，x2-6x+9=0有几个根 验证一下一元
二次方程x2–x+1=0有根吗
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程
ax2+bx+c=0的根有什么关系
探索新知
（1）2个，1个，0个.
（2）2个根，2个相等的根，无实数根.
（3）
二次函数 y=x2+x-2 y=x2-6x+9 y=x2-x+1
与x轴交点坐标 (-2，0)，(1，0) (3，0) 无交点
相应方程的根 x1=-2，x2=1 x1=x2=3 无实根
解：
探索新知
归 纳
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知， (1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值为0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
探索新知
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:
学以致用
小试牛刀
1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标就是求一元二
次方程_________________的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(b2－4ac≥0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线_______
的交点的______坐标．
ax2＋bx＋c＝0
y＝0
横
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
根的判别式的关系：
当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴________交点；
当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有________交点；
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有________交点．
无
一个
两个
小试牛刀
3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在
点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；
②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
小试牛刀
4.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过A(x1，m)，
B(x1＋n，m)两点，则m，n的关系为(　　)
A．m＝ n B．m＝ n
C．m＝ n2 D．m＝ n2
D
5.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　　)
A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
D
小试牛刀
6.若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程
x2＋mx＝7的解为(　　)
A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7
C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7
D
7.将抛物线y＝x2－1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的
距离为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
B
小试牛刀
8.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交
于C点，点B的坐标为(3，0)，抛物线与直线y＝－ x＋3交于C，
D两点．连接BD，AD.
(1)求m的值；
解：∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)，
∴0＝－9＋3m＋3，
∴m＝2.
小试牛刀
(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标．
∴D( ，－ .)
∵S△ABP＝4S△ABD，∴ AB×|yP|＝4× AB× ，
由
得
∴|yP|＝9，即yP＝±9，
当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9，无实数解；当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9，
解得x1＝1＋ ，x2＝1－ ，
∴点P的坐标为(1＋ ，－9)或(1－ ，－9)．
小试牛刀
9.已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)试判断该方程根的情况．
【思路点拨】(1)利用Δ的符号判断方程根的情况；
解：Δ＝[－(m－3)]2－4(－m)
＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8，
∵(m－1)2≥0，∴Δ＝(m－1)2＋8＞0.
∴原方程有两个不相等的实数根．
小试牛刀
(2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，
则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个
值；若不存在，请说明理由(友情提示：AB＝|x2－x1|)．
【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关系判断抛物线与x轴两
交点距离的最值．
存在最小值．由题意知x1，x2是方程x2－(m－3)x－m＝0的两根，
∴x1＋x2＝m－3，x1 x2＝－m.
又∵AB＝|x2－x1|，
∴AB2＝|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(m－3)2－4(－m)＝(m－1)2＋8.
当m＝1时，AB2有最小值8. ∴AB有最小值，此值为8＝22.
课堂小结
课堂小结
一元二次方程
二次函数
一元二次方程的根
与x轴交点情况
y=0
解方程
图象
由“数”
到“形”
由“形”
到“数”
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）