人教版（新）九上-24.1.2 垂直于弦的直径【优质课件】

(共32张PPT)
24.1.2
垂直于弦的直径
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
导入新知
　　如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)．
新课精讲
探索新知
1
知识点
圆的对称性
问 题（一）
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
探索新知
问 题（二）
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
探索新知
归 纳
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
探索新知
例1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点 关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′，
∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD，
∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆
上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
典题精讲
1.下列说法中不正确的是(　　)
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
B．直径是圆的对称轴
C．圆的对称轴有无数条
D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆重合
A
典题精讲
2.如图所示，在⊙O中，将△AOB绕圆心O顺时针旋转 150°，得到△COD，
指出图中相等的量．
边相等：OB=OC，
OA=OD，
AB=CD；
角相等：∠OAB=ODC，
∠OBA=OCD，
∠AOB=DOC.
探索新知
2
知识点
垂径定理
探索新知
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
探索新知
例2 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
探索新知
解：
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，
连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD
就是拱高.由题设可知AB=37，CD=7.23，
所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
⌒
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⌒
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探索新知
总 结
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径．
(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
典题精讲
1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm.
求⊙O的半径.
由图可知，AE=BE= AB
∵OE=3cm，AB=8cm，
∴BC=4cm
在Rt△OEA中，OA= 4 +3 =5cm
即⊙O的半径是5cm．
1
2
典题精讲
2.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是(　　)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C. BC＝BD
D．△OCE≌△ODE
⌒
⌒
B
探索新知
3
知识点
垂径定理的推论
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
探索新知
例3 如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm，
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm，
∵OM：OC=3：5，
∴OM= OC=3cm，
连接OA，∵AB⊥CD，
∴M为AB的中点，即AM=BM= AB，
在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm，
根据勾股定理得：AM=
则AB=2AM=8cm．
探索新知
关于垂径定理及其推论可归纳为：
一条直线，它具备以下五个性质：
直线过圆心；
(2)直线垂直于弦；
(3)直线平分弦(不是直径)；
(4) 直线平分弦所对的优弧；
(5)直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
典题精讲
图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC 的中点，则∠DOC的度数是________度．
48°
学以致用
小试牛刀
D
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中
不一正确的是( )
A．∠COE＝∠DOE
B．CE＝DE
C.
D．OE＝BE
小试牛刀
2．如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为点N，
则ON＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12，BE＝2，
则⊙O的直径为( )
A．8 B．10
C．16 D．20
A
D
小试牛刀
4．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A，
B不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于
点F，则EF＝( )
A．4
B．5
C．5.5
D．6
B
小试牛刀
5．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴
交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，
OC＝6，则⊙O′的半径为( )
A．7
B．6
C．5
D．4
C
小试牛刀
6．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦
AB上一点，且PB＝2， 求 OP的长.
小试牛刀
课堂小结
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们：
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2.掌握垂径定理的推论，明确理解“知二得三”的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
同学们，
下节课见！
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