人教版（新）九上-24.2.1 点和圆的位置关系【优质课件】

(共42张PPT)
24.2.1 点和圆
的位置关系
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．你知道运动员的成绩是如何计算的吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
点与圆的位置关系
探究：
1. 请你在练习本上画一个圆，然后任意做一些点，观察这些点和圆的位置关系.
2. 量一量这些点到圆心的距离，你发现了什么？
探索新知
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
符号“ ”读作“等价于”，
它表示从符号“ ”的左
端可以推出右端，从右
端也可以推出左端.
探索新知
例1 已知⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？
要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆
心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求
出相关点到圆心的距离．
导引：
探索新知
解：如图，连接OR，OP，OQ.
∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，
∴点P在⊙O上；
∵QD＝5 cm，
∴点Q在⊙O外；
∵RD＝3 cm，
∴点R在⊙O内．
探索新知
总 结
判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅助方法．
典题精讲
1.⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝4 cm，则点A与圆
O的位置关系为(　　)
A．点A在圆上
B．点A在圆内
C．点A在圆外
D．无法确定
B
典题精讲
2.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和5.1 m，他们投出的
铅球分别落在图中哪个区域内？
小明的铅球在6~7的区域内；
小丽的铅球在5~6的区域内.
探索新知
2
知识点
确定圆的条件
过一个已知点A如何作圆？
过点A所作圆的圆心在哪里？半径多大？可以作几个这样的圆？
探 究（一）
A
探索新知
过已知两点A、B如何作圆？
圆心A、B两点的距离怎样？能用式子表示吗？圆心在哪里？过点A、B两点的圆有几个？
探 究（二）
A
B
探索新知
探 究（三）
过同一平面内三个点情况会怎样呢？
1.不在同一直线上的三点A、B、C.
定理：过不在同一直线上的三点确定一个圆.
2.过在同一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？
不能作出
O
A
B
C
D
E
F
G
探索新知
例2 如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中
的任意3个点，能画圆的个数是(　　)
A．1　　 　 B．2　　 　C．3　 　　D．4
在4个点中取3个点确定一个圆，关键是
这3个点要不在同一直线上，因此本题
的实质是在A，B，C中找2个点与点
D确定圆．根据题意得出：点D，A，B；点D，A，C；点
D，B，C可以分别确定一个圆．故过这4个点中的任意3
个点，能画圆的个数是3.故选C.
C
导引：
探索新知
总 结
确定一个圆的条件：
(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
典题精讲
1.下列关于确定一个圆的说法中，正确的是(　　)
A．三个点一定能确定一个圆
B．以已知线段为半径能确定一个圆
C．以已知线段为直径能确定一个圆
D．菱形的四个顶点能确定一个圆
2.已知AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
B
探索新知
3
知识点
三角形的外接圆
试一试：
任意画一个三角形，然后再画出经过三个顶点的圆.
A
B
C
O
探索新知
　 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
探索新知
例3 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O 的半径．
导引：要求⊙O的半径，已知弦AB的长，需以
AB为边与⊙O的半径(或直径)构成等腰直角三
角形，因此有两个切入点．
方法一：如图1，连接OA，OB，利用圆周角
定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用勾股定
理求出半径；方法二：如图2，作直径AD，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等，得∠D＝∠C＝45°，再利用勾股定理可求出半径．
探索新知
解：方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.
∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .
图 1
探索新知
方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径为r.
∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.
又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°，
∴BD＝AB＝4.
在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，
即42＋42＝(2r)2，
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .
图 2
探索新知
总 结
求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长．
典题精讲
如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？
如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
探索新知
4
知识点
反证法
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，
而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点
有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所
以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
探索新知
归 纳
上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.
探索新知
例4 用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.
如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1=∠2.
假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，
使∠EOB′=∠2.根据
“同位角相等，两直线平行”，可
得A′B′∥CD.这样，过点O就有
两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理“过
直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.
证明：
探索新知
总 结
(1)反证法适用情形：①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”，且用直接法证较困难；②证明一个定理的逆命题，用直接法证较困难．使用反证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来．
(2)反证法使用要经历：反设→归谬→结论这三步，反设是推理归纳的已知条件，即把反设作为已知条件进行推理；归谬是关键，是反证法的核心，其作用是：从命题结论的反面出发，推出与已知事理(定义、公理、定理、已知条件)矛盾；最后说明假设不成立，原结论成立．
典题精讲
1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°” 时，首先应假设三角形中(　　)
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
2.用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，应先假设______________________________．
C
点P在⊙O上或点P在⊙O内
学以致用
小试牛刀
1．过点A，B的圆有无数个，这些圆的圆心都在线段AB的_____________上，当圆心O确定之后，OA或OB即为圆的_______．
垂直平分线
半径
2．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为____.
3．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”第一步假设为：
_______________________________．
18°
三角形中三个角都小于60°
小试牛刀
4．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴
到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则
圆的半径为______cm.
5．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是
_____．
x＞5
小试牛刀
6．已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP＝10时，点A与⊙O
的位置关系为( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．不确定
7．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为4，点P的坐标为(3，4)， 则
点P的位置为( )
A．在⊙O外 B．在⊙O上
C．在⊙O内 D．不确定
C
A
小试牛刀
8．根据下列条件可以确定一个圆的是( )
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知直径 D．三个点
9．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的最大距离为3，最小距离为1，
则此圆的半径为( )
A．2或1 B．2或4 C．2 D．1
C
A
小试牛刀
解：(1)答案不唯一，如图所示．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4.
(1)以点A为圆心画两个同心圆，使点B在小圆内，点C在大圆外；
小试牛刀
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4.
(2)以点A为圆心画⊙A，设⊙A的半径为R，若点B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，求R的取值范围．
小试牛刀
解：由SAS可证．
11．如图①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
小试牛刀
解： 四边形BECD是菱形．
证明：∵△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.
∵点D是△ABC的外接圆圆心，
∴DA＝DB＝DC. 又∵BD＝BE，
∴BD＝BE＝EC＝CD，∴四边形BECD是菱形．
11．如图①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.
(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．
课堂小结
课堂小结
1.点和圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心
的距离为d，则
2.过一点可以作无数个圆.
3.过两点可以作无数个圆.圆心在以已知两点为端点的线
段的垂直平分线上.
4.过三点
5.反证法的证明思想：反设、归谬、结论.
同学们，
下节课见！
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