人教版（新）九上-24.2.2 直线和圆的位置关系 第三课时【优质课件】

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24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？
1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？
2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
新课精讲
探索新知
1
知识点
切线长定理
下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
探索新知
如图，连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
探索新知
总 结
由此得到切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
探索新知
例1 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则△PDE的周长为______，∠DOE的度数为______．
⌒
6
60°
探索新知
导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切线长定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的周长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得∠DOC＝ ∠AOC，∠EOC＝ ∠BOC，
∴∠DOE＝ (∠AOC＋∠BOC)＝ ∠AOB.由∠APB＝60°得∠APO＝30°，
又∵AO＝ ，由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴PO＝2 ，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ ＝3，∠DOE＝ ∠AOB＝60°.
探索新知
总 结
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一点与圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的关键，而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也起到了很好的辅助作用．
典题精讲
1.下列说法正确的是(　　)
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
典题精讲
2.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B. 如
果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(　　)
A．4
B．8
C．4
D．8
D
探索新知
2
知识点
三角形的内切圆
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
探索新知
归 纳
如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点 I，那么点I到AB，BC，CA的距离都相等.以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都
相切，圆I就是所求作的圆. 与三角形各边都
相切的圆叫做三角形的内切圆.
探索新知
例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x，则AE=x.
CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC，
可得（13-x）+（9-x）=14. 解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
探索新知
总 结
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为：
一是连顶点、内心产生角平分线；
二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
典题精讲
1.在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是(　　)
A.
B．1
C．2
D.
B
典题精讲
2.如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG.点F，G分别在边AD，BC上，连接OG，DG.若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是(　　)
A．CD＋DF＝4
B．CD－DF＝
C．BC＋AB＝
D．BC－AB＝2
C
探索新知
3
知识点
三角形的内心
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
探索新知
例3 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的
度数为(　　)
A．130° B．100°
C．50° D．65°
导引：由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝ ×(180°－80°)＝50°，
∴∠BOC＝180°－50°＝130°.
A
典题精讲
1.下列说法错误的是(　　)
A．一个三角形有一个内切圆
B．三角形的内心是三边垂直平分线交点
C．三角形内心到三边距离相等
D．等腰三角形的内心在底边的中线上
B
典题精讲
2.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心.
求∠BOC的度数.
内心：三角形里面画的内切圆的圆心。
圆的半径相等，也就是BO、OC为∠ABC、∠ACB角平分线。
所以：∠CBD=25°，∠BCD=37.5°.
三角形内角和180°，
所以∠BOC=117.5°.
学以致用
小试牛刀
1．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相切　　 　　　　 B．相交
C．相离　　 D．无法确定
B
2．已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆有公共点，则d
的取值范围是(　　)
A．d＝1 B．d＝5
C．1≤d≤5 D．1C
小试牛刀
3．如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格
线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中
除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(　　)
A. B. C. D．5B
小试牛刀
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4 cm，以点C为圆心，4 cm为半径画⊙C，试判断直线BD与⊙C的位置关系，并说明理由．
解：直线BD与⊙C相交．理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8 cm.
∴AC＝
由三角形的面积公式得 AC·BC＝ AB·CD，
∴CD＝ ＝2 cm.
∵2 cm<4 cm， ∴直线BD与⊙C相交．
小试牛刀
5．已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2－5x＋6＝0
的两个根，求⊙O1与⊙O2的位置关系．
解：解方程x2－5x＋6＝0，
得x1＝2，x2＝3.
∴⊙O1与⊙O2的半径分别为2，3.
∵2＋3<6， ∴⊙O1与⊙O2外离．
小试牛刀
6．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的
切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.
(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；
解：猜想：OD∥BC，OD＝ BC.
证明：∵OD⊥AC，∴AD＝DC.
∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB.
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD＝ BC.
小试牛刀
(2)求证：PC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，设OP与⊙O交于点E.
∵OP⊥AC， ∴AE＝CE，即∠AOE＝∠COE.
︵
︵
在△OAP和△OCP中，
∵OA＝OC，∠AOP＝∠COP，OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP. ∴∠OCP＝∠OAP.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.
∴∠OCP＝90°.即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线．
课堂小结
课堂小结
什么是三角形的内切圆和内心？
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心.
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为：
一是连顶点、内心产生角平分线；
二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
同学们，
下节课见！
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