人教版（新）九上-24.2.2 直线和圆的位置关系【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时
教学内容
1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．
2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d
直线L和⊙O相交dr．
教学目标
（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念．
（2）理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：
直线L和⊙O相交dr．
复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的d=r直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理．
重难点、关键
难点与关键：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
教学过程
一、复习引入
（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
则有：点P在圆外d>r，如图（a）所示；
点P在圆上d=r，如图（b）所示；
点P在圆内d二、探索新知
活动1：P95页思考：把海平面看作一条直线，太阳看作一个圆，由此你能得出直线与圆的位置关系吗？
由此你能归纳出直线和圆有几种位置关系吗？
如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
活动2：判断正误：
1、 直线与圆最多有两个公共点 。…………………（　）
1、 若C为⊙O上的一点，则过点C的直线与⊙O相切。… … … …( )
1、 若A、B是⊙O外两点， 则直线AB与⊙O相离。… … … … …( )
1、 若C为⊙O内一点，则过点C的直线与⊙O相交。（ ）
活动3：思考：如何判断直线与圆的位置关系？
老师点评直线L和⊙O相交d直线L和⊙O相切d=r，如图（b）所示；
直线L和⊙O相离d>r，如图（c）所示．（幻灯片12、幻灯片13）
思考：在相切的情形下，意味着切点即为垂足，为什么呢？
（用反证法，利用圆的轴对称性证明）
小结：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图 形
公共点个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线距离d与半径r的关系
活动4、练习1
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____。直线a与⊙O的公共点个数是____。
2、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___。
3、已知⊙O的半径为6cm，O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是____。
4、已知⊙O的直径是6cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___。
练习2
1、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为（ ）
A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
2、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是……………………………………………（ ）
A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
补充例题：（幻灯片）
三、归纳总结：1、直线与圆的位置关系3种：相离、相切和相交。
2、识别直线与圆的位置关系的方法：
（1）一种是根据定义进行识别：
直线L与⊙o没有公共点 直线L与⊙o相离。
直线L与⊙o只有一个公共点 直线L与⊙o相切。
直线L与⊙o有两个公共点 直线L与⊙o相交。
（2）另一种是根据圆心到直线的距离d与圆半径r数量
比较来进行识别：
d>r 直线L与⊙o相离；
d=r 直线L与⊙o相切；
d四、布置作业：习题24.2复习巩固2
五、课后反思：用反证法证明“d=r 直线L与⊙o相切”学生很难理解：①为什么要证这时候垂足即为切点？②如何用反证法证明“垂足即为切点”？这个问题弄清楚之后，对下节课讲解切线的性质大有好处。
第2课时
一、课标要求
了解切线的概念：探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线。会过圆上一点画圆的切线。
二、教学目标
1．复习巩固直线与圆相切的位置关系；
2．归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理，并能运用这些知识进行计算和证明；
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题，体验数学与实际生活的密切联系；
4．会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想；
5．在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。
三、教学重点
运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。
四、教学难点
灵活运用所学知识解决有关切线问题。
五、教学过程
（一）导入课题
前面我们已经学习过直线与圆的位置关系，大家想一想，直线与圆有几种位置关系？
其中直线与圆相切是本章的重点知识，也是中考中的重要考点之一，这节课我们就对直线与圆相切这部分内容进行了一个全面复习。
（二）归纳运用
1．什么叫做直线与圆相切？由这个定义你能得出切线的哪些性质和判定方法？
（和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，切线和圆只有一个公共点）
2.如果直线和圆相切，那么圆心到直线的距离与半径有什么关系？反之，如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆是什么位置关系 ？
（和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，切线和圆心的距离等于圆的半径）
例：如图1在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点DE平分∠ADC，∠E平分∠BCD，则以AB为直线的圆与边CD有怎样的位置关系。并证明你的结论。
练习：
（1）（09.广东）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，当d=r时，直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
（2）如图2已知⊙O的半径为3，点O到L的距离OA=5，将直线L向上沿AO方向平移m个单位时⊙O与直线L相切，则m等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或8
3.在2结论的基础上，我们可以得到切线的判定定理和性质定理，它们各是什么内容？要注意些什么？切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
注意：“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可。
切线的性质定理：圆的切线垂直于今年各国切点的半径（注意是“经过切点的半径”）
4．例2：如图3PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B，试猜测PB与⊙O的位置关系，并说明理由。
由上例可知，在运用切线的判定定理和性质定理时往往需要添加辅助线。
（1）当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连结圆心和切点。得到半径，那么半径垂直于切线
（2）当要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线经过圆上一点，则作出过这一点的半径。证明直线垂直于这条半径。
练习2（08，河北）如图4，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若∠A=36°，则∠C= 。
（08，上海）下列结论中正确的是（ ）
A．圆的切线垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心
C．垂直于切线的直线必经过切点 D．经过圆心和切点的直线必须垂直于切线
3．（09，湖南怀化）如图5PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P= 。
4．（08，随州）如图6，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠BAC=30°，在AB的延长线上取一点P，连结PC，当PB=AB时，求证：PC是⊙O的切线
5．经过圆外一点可以作圆的几条切线？
如图7，过⊙O外一点P可以作⊙O的两条切线，我们根据圆的轴对称或三角形的全等知识，可得出“切线长定理”，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。几何语言：
∵PA、PB是⊙O的两条切线
∴AP=BP , ∠APO=∠BPO
6.例题3，如图8正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的边BC为直径在正方形内部作半圆，AE交CD于点E，且与半圆相切于点F，求△ADE的面积。
7．练习
（1）（08，上海）如图9，从⊙O外一点P到⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果∠APB=60°，PA=8,那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．7 C． D．
（2）如图10，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
（三）小结：谈谈通过本节课的学习，你有什么收获
（四）课外作业
1．已知OA垂直于直线L于点A，OA=3，⊙O的半径为2，若将直线L沿AO方向平移，使直线L与⊙O相切，则平移的距离可以是（ ）
A．1 B．5 C．2 D．1或5
2．⊙O的半径为3cm，直线L上有一点P到O 的距离为3㎝，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
3．如图11，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°, 则∠D等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．如图12已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA=3，∠APO=30°，那么OP= 。
5．如图13，PA 、PB分别切⊙O于点AB，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠B= 。
6．如图14，直线AB与⊙O相切于点B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连结BD则圆中直角三角形有 个。
7.如图15，已知在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于D，切线DE⊥AC，垂足为点E，求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）AE=CE.
8．如图16,AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C交⊙O于点D。
求证（1）AT平分∠BAC
(2)若AD=2，TC=3，求⊙O的半径。
第3课时
教学目标
(一)知识与技能
1．能判定一条直线是否为圆的切线．
2．会过圆上一点画圆的切线．
3．会作三角形的内切圆．
(二)过程与方法
1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．
2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．
(三)情感态度与价值观
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教学重点
探索圆的切线的判定方法，并能运用．
作三角形内切圆的方法．
教学难点
探索圆的切线的判定方法．
教学方法
师生共同探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．
由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．
Ⅱ．新课讲解
1．探索切线的判定条件
如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，
(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．
[生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．
[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．
[生](2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．
[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．
[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．
[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
2．做一做
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．
[生]如下图．
(1)连接OA．
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
3．如何作三角形的内切圆．
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．
分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．
⊙I就是所求的圆．
[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？
[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．
[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课学习了以下内容：
1．探索切线的判定条件．
2．会经过圆上一点作圆的切线．
3．会作三角形的内切圆．
4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．
Ⅴ．课后作业
P100 练习
Ⅵ．活动与探究
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．
证明：连结OD．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，
∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4．
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC．
∴∠ODC＝∠OBC．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°．
∴∠ODC＝90°．
∴DC是⊙O的切线．
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