冀教版（新）七上-5.4 一元一次方程的应用 第五课时【优质课件】

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第5课时
5.4 一元一次方程的应用
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
若一种3年期国库券年利率为2.89%.如果要在3年后获得本息和10867元，现在应购买国库券多少元
解： 10867÷（1+2.89%×3）
=10867÷1.0867
=10000元
新课精讲
探索新知
1
知识点
积分问题
探究1 球赛积分表问题
某次篮球联赛积分榜
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系;
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
探索新知
通过观察积分表，你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？
分析：观察积分榜，从最下面一行数据可以看出：负一场积1分.设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值.例如，从第一行得方程10x+1×4 = 24.由此得x=2.用积分榜中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分.
探索新知
(1)如果一个队胜m场，则负(14-m)场，胜场积分为2m，负场积分为 14 -m，总积分为2m+(14-m)=m+14.
(2)设一个队胜了 x场，则负了(14-x)场.如果这个队的胜场总积分 等于负场总积分，则得方程2x== 14 -x.由此得x=
探索新知
想一想：x表示什么量？它可以是分数吗？
由此你能得出什么结论？
解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际.
x (所胜的场数）的值必须是整数，所以x=
不符合实际，由此可以判定没有哪个队的胜
场总积分等于负场总积分.
上面的问题说明，用方程解决实际问题时，
不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验
方程的解是否符合问题的实际意义.
这个问题说明：利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断.
探索新知
这类问题中的基本关系有：
(1)比赛总场数＝胜场数＋负场数＋平场数；
(2)比赛总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分．
探索新知
例1 为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
导引：设九年级一班胜x场，则负(8－x)场，根据得分情况直接列方程即可求解．
解： 设九年级一班胜x场，则负(8－x)场，
根据题意得2x＋(8－x)＝13.
解得x＝5. 8－x＝8－5＝3. 答： 九年级一班胜5场，负3场．
探索新知
总 结
解决本题关键是找到比赛的总场数，先设出胜的场数，再表示出负的场数，根据总分数列方程求解.本题运用了方程思想.
探索新知
例2 某国进行足球赛共赛8轮(即每队均需参赛8场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．在这次足球联赛中，猛虎队平的场数是负的场数的2倍，且8场比赛共得17分，该队共胜多少场？
解析：题中等量关系是：胜场积分+平场积分=17．
解：设该队负x场，则平的场数为2x场，胜的场数为
(8-x-2x)场，根据题意，得3(8-x-2x)+2x=17，
解这个方程得x=1．
∴8-x－2x=8－1－2=5． 答：该队共胜了5场．
探索新知
总 结
此类问题采用设间接未知数的方法，设某种场数为x，则其余两种场数都可以用含x的式子表示出来，从而可利用相等关系列方程．
探索新知
例3 某校高一年级有12个班．在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？
解析：因为共有12个班，且规定每两个班之间只进行 一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了x场，则负了(11－x)场，根据得分为18分可列方程求解．
解： 设胜了x场，则负了(11－x)场．
依题意得2x＋1·(11－x)＝18， 解得x＝7. ∴11－x＝4.
答：这个班的胜负场数应分别是7和4.
探索新知
总 结
解本题关键是找到比赛的总场数，先设出胜的场数，再表示出负的场数，根据总分数列方程求解．本题运用了方程思想．
典题精讲
1.某校七年级11个班中开展篮球单循环比赛(每班需进行10场比赛)．比赛规则：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得－1分，已知七(2)班在所有的比赛中得到14分，若设该班胜x场，则x应满足的方程是(　　)
A．3x＋(10－x)＝14 B．3x－(10－x)＝14
C．3x＋x＝14 D．3x－x＝14
B
2.学校组织一次有关航天知识的竞赛，共有20道题，每道题答对得5分，答错或不答都倒扣1分，小明最终得76分，那么他答对了________道题．
16
探索新知
2
知识点
计费问题
探究2 电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式.
月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/min) 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
探索新知
考虑下列问题：
(1)设一个月内用移动电话主叫为tmin (t 是正整数). 根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法.
月使用费固定收；主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费；被叫免费.
探索新知
分析: (1)由上表可知，计费与主叫时间相关，计费时首先要看主 叫是否 超过限定时间.因此，考虑t的取值时，两个主叫限定时间150 min和350 min 是不同时间范围的划分点.当t在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下页表：
主叫时间t/min 方式一计费/元 方式二计费/元
t小于150 58 88
t=150 58 88
t大于150且小于350 58+0.25(t-150) 88
t=350 58+0.25(350-150)=108 88
t大于350 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350)
探索新知
(2)观察（1）中的表，可以发现：主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化.下面比较不同时间范围内方式一和方式二的计费情况.
①当t小于或等于150时，按方式一的计费少.
②当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而按方式二的计费一直是88元.因此，当t大于150并且小于350时，可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等.列方程58+0.25(t—150) = 88， 解得t=270.
因此，如果主叫时间恰是270 min，按两种方式的计费相等，都是88元; 如果主叫时间大于150 min且小于270 min，按方式一的计费少于按方式二的计费(88元)；如果主叫时间大于270 min且小于350 min，按方式一的计费多于按方式二的计费(88元).
③当t=350时，按方式二的计费少.
探索新知
④当t大于350时，可以看出，按方式一的 计费为108元加上超过350 min部分的超时费 (0.25(t-350))，按方式二的计费为88元加上超 过350 min部分的超时费(0.19(t-350))，按方式二的计费少.
综合以上的分析，可以发现：
___________时，选择方案一省钱；
___________时，选择方案二省钱.
选一些具体数字，通过计算验证你的
发现是否正确.
当t大于350 时，按方式一的计费 58+0.25(t-150) 可变 形为 108 + 0.25(t - 350).对比按方式二 的计费，你能说明此 时按哪种方式的计费少吗？
t<270
t>270
探索新知
解答这类问题的一般步骤：
1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解使方案值
相等的情况；
2．用特殊值试探去选择方案，取小于(或大于)一元一
次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论．
探索新知
例4 某市上网有两种收费方案，用户可任选其一：A为计时制——1元/时；B为包月制——80元/月，此外每种上网方式都附加通讯费0.1元/时．
(1)某用户每月上网40小时，选哪种方式比较合算？
(2)某用户每月有110元钱用于上网，选哪种方式比较合算？
(3)请你设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式．
导引：(1)提供了上网时间40小时，根据“单价×总时长＝总价”，求出A，B收费方案下的费用，进行比较；(2)提供了上网的总费用，已知上 网的单价，求出总时长进行比较；(3)根据用户的上网时长，比较哪种方案收费较少，帮其设计合理的方案．
探索新知
解：(1)如果用户每月上网40小时：
A计时制：40×(0.1＋1)＝44(元)，
B包月制：80＋40×0.1＝84(元)，
44<84，故选A计时制比较合算．
(2)设用户用110元上网，A计时制可上网x小时，B包月制可上网y小时，
则(1＋0.1)x＝110，解得x＝100，
80+0.1 y=110，解得y =300.
因为100<300，故选B包月制比较合算．
探索新知
(3)设用户上网z小时，两种方式收费一样多．
则(1＋0.1)z＝80＋0.1z.
解得z＝80.
故上网不足80小时，选A计时制；
上网超过80小时，选B包月制；
上网恰好80小时，两种方案都一样．
探索新知
价目表 每月用水量 单价
不超出6 m3的部分 2元/m3
超出6 m3但不超出10 m3的部分 4元/m3
超出10 m3的部分 8元/m3
注：水费按月结算 例5 近几年我国部分地区不时出现的严重干旱，使我们认识 到节水的重要性．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对自来水收费采用阶梯价格的调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表.
探索新知
(1)若某户居民2月份用水10.5 m3，应交水费多少元？
(2)若该户居民3，4月份共用水16 m3(4月份用水量超过3月份)，共交水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？(结果精确到0.1 m3)
解：(1)由题意，得
2×6＋4×(10－6)＋8×(10.5－10)＝32(元)．
所以二月份应交水费32元．
探索新知
(2)设三月份用水x m3，则四月份用水(16－x) m3.
①当x≤6时，16－x≥10，
依题意，得2x＋2×6＋4×4＋8(16－x－10)＝44.
整理，得6x＝32，所以x≈5.3，此时16－x≈10.7，符合题意．
②当6＜x≤10时，6≤16－x＜10，依题意，
得2×6＋4×(x－6)＋2×6＋4(16－x－6)＝44.
整理，得40＝44，此方程无解．所以6＜x≤10不可能成立．
③因为4月份用水量超过3月份，所以x不可能超过10.
综上所述，三月份用水约5.3 m3，四月份用水约10.7 m3.
典题精讲
1.参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表：
某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1 100元，那么此人住院的医疗费是(　　)
A．1 000元 B．1 250元 C．1 500元 D．2 000元
住院医疗费 报销率(%)
不超过500元的部分 0
超过500～1 000元的部分 60
超过1 000～3 000元的部分 80
… …
D
典题精讲
2.张老师一家三口暑假准备参加旅游团去北京旅游，甲旅行社说：“如果父母买全票，小孩可半价优惠”；乙旅行社说：“全部按全票价的8折优惠”，若全票价为1 200元．则张老师应选择哪家旅行社？(　　)
A．选择甲 B．选择乙
C．选择甲、乙都一样 D．无法确定
B
3.某校准备为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1 500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．张老师经过计算，发现两家公司收费一样，则该校今年毕业生有________人．
500
学以致用
小试牛刀
1.在“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位，则下列方程正确的是 (　　)
A．30x－8＝31x＋26　　 B．30x＋8＝31x＋26
C．30x－8＝31x－26 D．30x＋8＝31x－26
D
2.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元．问这种商品的定价是多少？
设这种商品的定价为x元．根据题意，得0.75x＋25＝0.9x－20，
解得x＝300. 答：这种商品的定价是300元．
解：
小试牛刀
3. A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、 B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时，经过多少小时两车相距50千米？
两车相距50千米有两种情况，
情况一：两车未相遇，设经过x小时两车相距50千米，由题意，得(120＋80)x＋50＝450 . 解得x＝2.
情况二：两车相遇后继续前行，设经过y小时两车相距50千米，
由题意，得(120＋80)y－50＝450 . 解得y＝2.5 .
答：经过2小时或2.5小时两车相距50千米．
解：
小试牛刀
4.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共需缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
设中型汽车有x辆，则小型汽车有(50－x)辆，
根据题意，得12x＋8(50－x)＝480，
解得x＝20， 则50－x＝50－20＝30 .
答：中型汽车有20辆，小型汽车有30辆．
解：
小试牛刀
某小组8名同学参加一次知识竞赛，共答题10道，每题分值相同.每题答对得同样多的分，答错或不答扣同样多的分．情况如下：
学　号 答对题数 答错或不答题数 得分/分
1 8 2 70
2 9 1 85
3 9 1 85
4 5 5 25
5 7 3 55
6 10 0 100
7 4 6 10
8 8 2 70
5.
小试牛刀
设答对一道题得x分，
由6号同学的数据可得10x＝100，解得x＝10.
设答错或不答一题扣y分，
由1号同学的数据可得8×10－2y＝70，解得y＝5.
所以当答对的题数为n时，
得分为10n－5(10－n)＝15n－50(分)．
解：
(1) 如果答对的题数为n(0≤n≤10，且n为整数)，用含n的式子表示得分；
小试牛刀
因为n为整数，所以不可能出现得零分的情况；
当答对题数为0，1，2或3时，得分为负分．
解：
(2)什么情况下，得分为零分，得分为负分？
小试牛刀
6. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
(1)求该店有客房多少间，房客多少人．
设该店有客房x间，则房客有(7x＋7)人，
根据题意，得9(x－1)＝7x＋7，
解得x＝8，则7x＋7＝7×8＋7＝63.
答：该店有客房8间，房客63人．
解：
小试牛刀
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加. 每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
若每间客房住4人，则63名房客至少需客房16间，
需付费20×16＝320(钱)，
若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8＝288(钱)<320钱；
答：诗中“众客”再次一起入住，他们选择一次性订客房18间更合算．
解：
课堂小结
课堂小结
（1）谈谈本节课学到了哪些知识？学后有何感受？
（2）说说在积分问题中有哪些基本等量关系？
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）