冀教版（新）八上-12.4 分式方程【优质课件】

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12.4 分式方程
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
小红家到学校的路程为38 km. 小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h. 已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
新课精讲
探索新知
1
知识点
分式方程
1. 上述问题中有哪些等量关系？
2. 根据你所发现的等量关系，设未知数并列出方程.
问题中的等量关系为：
(1)小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红上学路上的时间；
(2)公共汽车的速度=9×小红步行的速度.
探索新知
如果设小红步行的速度为x km/h，那么公共汽车的速度为9x km/h，根据等量关系(1)，可得到方程
如果设小红步行的时间为x h，那么她乘公共汽车的时间为(1－x) h， 根据等量关系(2)，可得到方程
探索新知
像
这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
结论：
讨论：
探索新知
分式方程：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
要点精析：
(1)分式方程的两个特点：①方程中含有分母；②分母中含有未知数．
(2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据．
(3)整式方程和分式方程统称为有理方程．
易错警示：
分式方程的分母中含有未知数，而不是一般的字母参数．
探索新知
例1
判断下列方程是不是分式方程：
导引：(1)中的方程分母中不含有未知数，(2)(3)(4)
中的方程分母中含有未知数．
解：(1)不是分式方程；(2)是分式方程；(3)是分式方程；(4)是分式方程．
探索新知
总 结
判断一个方程是不是分式方程的方法：根据分式方程定义中的条件，判断方程的分母中是否含有未知数，如果含有未知数，那么这个方程是分式方程，否则不是分式方程．
警示：识别分式方程时，不能对方程进行约分、通分变形，更不能用等式的性质变形．
典题精讲
预习完分式方程的概念，小丽举出了以下方程，你认为不是分式方程的是(　　)
A. ＋x＝1 B. ＝15
C. D. ＝2
B
典题精讲
在方程
中，分式方程有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
探索新知
2
知识点
解分式方程
如何解分式方程
方程两边同乘以最简公分母 ，得2 000－1 600＝5x，解这个整式方程，得x＝80.
把x＝80代入上述分式方程检验：
所以x＝80是该分式方程的解. 因而，列车提速前的速度为80 km/h.
探索新知
解分式方程的一般步骤：
①去分母：把方程两边都乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程；
②解这个整式方程，得到整式方程的根；
③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原分式方程的根，使最简公分母等于零的根不是原分式方程的根；
④写出分式方程的根．
探索新知
解：(1)方程两边同乘x(1－x)，得36x=18(1－x).
解这个整式方程，得x＝
经检验，x＝ 是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘9x，得36＋18＝9x，解这个整式方程，得x＝6.
经检验，x＝6. 是原分式方程的解.
例2
解方程
探索新知
总 结
(1)解分式方程的基本思想是“化整”，即“化分式方程为整式方程”，而“化整”的关键是找最简公分母；
(2)解分式方程一定要注意验根，验根是解分式方程必不可少的步骤．
警示：在去分母时，方程两边同乘最简公分母，必须每一项都要乘，不能认为有分母的就要乘，没有分母的就不用乘，而是有几项就要乘几项，不能漏乘．
典题精讲
解方程：
解：(1)去分母得：x－5＝4(2x－3)，
去括号得：x－5＝8x－12，移项得：－7x＝－7，
∴x＝1. 经检验，x＝1为原分式方程的解．
(2)方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得
3＋x(x＋3)＝(x＋3)(x－3)，3＋x2＋3x＝x2－9.
x＝－4. 检验：当x＝－4时，(x＋3)(x－3)≠0，
所以x＝－4是原分式方程的解．
典题精讲
解分式方程 时，去分母后变形正确的为(　　)
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
D
典题精讲
已知分式方程 ，下列说法错误的是(　　)
A．方程两边各分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
B．方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解B中的整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
D
探索新知
3
知识点
分式方程的根（解）
使得分式方程等号两端相等的未知数的值
叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).
探索新知
导引：把x＝3代入分式方程，得到关于a的一元一次方
程，求a的值．
∵x＝3是分式方程 ＝0的根，
∴ ＝0，解得a＝5
例3
若x＝3是分式方程 ＝0的根，则a的值是(　　)
A．5　 　B．－5　 　C．3　　 　D．－3
A
探索新知
总 结
根据方程的解构造方程，由于所构造的方程是分式方程，因此验根的步骤不可缺少 .
典题精讲
已知关于x的方程 的解为x＝－ ，求m的值．
解：把x＝－ 代入方程 ，
得 ，解得m＝5. 经检验，m＝5
是分式方程 的解． ∴m的值为5.
典题精讲
若x＝3是分式方程 ＝0的根，则a的值是(　　)
A．5 B．－5 C．3 D．－3
关于x的分式方程 有解，则字母a的取值范围是(　　)
A．a＝5或a＝0 B．a≠0
C．a≠5 D．a≠5且a≠0
A
D
探索新知
4
知识点
异分母分式的加减
下列是小华解方程 的过程：
方程两边同乘x－1，得x＋1＝－(x－3)＋(x－1).
你认为x＝1是方程 的解吗？为什么？
事实上，因为当x＝1时，x－1＝0，即这个分式方程的分母为0，
方程中的分式无意义，所以x＝1不是这个分式方程的解(根) .
探索新知
在解分式方程时，首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程，然后要将整式方程的根代人分式方程(或公分母)中检验. 当分母的值不等于0时，这个整式方程的根就是分式方程的根；当分母的值为0时，分式方程无解，我们把这样的根叫做分式方程的增根.
结 论
探索新知
例4 解方程：
解：方程两边同乘x＋2，得
2－(2－x)＝3(x＋2) .
解这个整式方程，得
x＝－3.
经检验，x＝－3是原分式方程的解 .
探索新知
在去分母时，方程两边同时乘公分母，必须每一项都要乘，不能认为有分母的就要乘，没有分母的就不用乘，而是有几项就要乘几项，不能漏乘 .
总 结
典题精讲
1 下列关于分式方程增根的说法正确的是(　　)
A．使所有的分母的值都同时为零的解是增根
B．分式方程的解为0就是增根
C．使分子的值为0的解就是增根
D．使最简公分母的值为0的解是增根
D
典题精讲
2 解下列方程：
解：原方程即为 ，方程两边同
乘以(x－2)去分母，得3x－5=2(x－2)－(x＋1)，
整理得x=0．
经检验，x=2是原分式方程的解.
探索新知
例5 已知关于x的分式方程 ＝1.
(1)若该方程有增根1，求a的值；
(2)若该方程有增根，求a的值．
导引：先将分式方程化成整式方程，然后将增根代入整式方程，
求出字母a的值．
解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0，x＝0或1.
又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1. ∴原分式
方程的增根为1. ∴(a＋2)×1＝3，∴a＝1.
探索新知
方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为：
(1)把分式方程化为整式方程；
(2)令最简公分母为0，求出未知数的值，这里要注意：必须验证未知数的值是不是整式方程的根，如本例中x＝0就不是整式方程的根；
(3)把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值．
总 结
典题精讲
当m取何值时，分式方程 ＝4会产生增根？
解：在方程两边同乘x－3，得：1－m＝4(x－3)．
解得：x＝ . 若x＝ 是原分式方程的增根，
则 ＝3. 解得：m＝1. 所以当m＝1时，原分式
方程会产生增根．
典题精讲
若关于x的分式方程 ＝2有增根，则m的值是(　　)
A．m＝－1 B．m＝0
C．m＝3 D．m＝0或m＝3
若关于x的分式方程 有增根，则它的增根是(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．1和－1
A
B
学以致用
小试牛刀
1．分母中含_______的方程叫做分式方程；分式方程的识别标准：一是_____，二是_____中含未知数．
未知数
方程
分母
列分式方程的步骤：(1)审清题意，明确题目中的未知数；(2)根据题意找__________ ，列出分式方程．
等量关系
分式方程的解法：(1)去分母，在方程两边都乘____________，化为_____方程；(2)解这个_____方程；(3)______．
最简公分母
整式
整式
验根
小试牛刀
在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使原分式方程的分母为___，则这个根叫做原方程的增根，但它是去分母后的__________的根；若分式方程无解，则说明去分母后的_________无解或解这个整式方程得到的解使原方程的_____等于0.
零
整式方程
整式方程
分母
2 . 解分式方程检验时，将整式方程的解代入____________，如果____________的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
最简公分母
最简公分母
小试牛刀
D
C
小试牛刀
D
A．方程两边各分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
B．方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解B中的整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
C
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝－5
小试牛刀
D
C
A．a≥1 B．a>1
C．a≥1且a≠4 D．a>1且a≠4
小试牛刀
D
A．－2 B．2
C．4 D．－4
A
A．－5 B．－8
C．－2 D．5
小试牛刀
小试牛刀
解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，
得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)．　
整理，得(1－a)x＝10 .
若方程产生增根，则增根为x＝2或x＝－2，
且增根一定是整式方程(1－a)x＝10的解．
所以将x＝2和x＝－2分别代入整式方程(1－a)x＝10，
可得a＝－4或a＝6 .
所以当a＝－4或a＝6时，原方程会产生增根．
小试牛刀
课堂小结
课堂小结
1.分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程 .
2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意；
(2)设未知数；
(3)找到相等关系；
(4)列分式方程 .
课堂小结
1.去分母(关键找最简公分母) 将分式方程转化为整式方程
2.解这个整式方程 得到整式方程的解
3.检验(代入最简公分母看是 否为0，为0增根) 舍去增根
4.写出最终结果 得到原方程的解
3.解分式方程的步骤：
同学们，
下节课见！
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