(共36张PPT)
15.1 二次根式
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
(任务-发布任务-选择章节)
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
二次根式的性质:
(1) 中a≥0, ≥0,即一个非负数的算术平方根是一个非负数;
(2) =a(a≥0),即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身;
(3) 即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
新课精讲
探索新知
1
知识点
1. 是否相等? 呢?
2. 当a≥0,b≥0时,对 的关系提出你的
猜想,并说明理由 .
探索新知
事实上,
(1)因为当a≥0,b≥0时,
所以
探索新知
归 纳
积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,
即
探索新知
化简:
例 1
解:
解:
探索新知
总 结
1.被开方数一定是积的形式,不能出现 的错误.
2.若积的因数或因式不是非负数,应将其化为非负数,再运用性质进行化简;
如
这里隐含条件a≤0,易错误得出结果
3.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式),要保证它们都是非负数.
1 化简:
典题精讲
导引:
应用积的算术平方根的前提是乘积的算术平方根,若不是则需将其转化为积的形式,其次是每个因数(式)必须是非负数.
(1)(2)中被开方数为数,(3)(4)中被开方数是含有字母的单项式,都可利用 (a≥0,b≥0)和 =a(a≥0)进行化简;(5)(6)中被开方数为多项式,化简时要先分解因式.
典题精讲
解:
典题精讲
2 若 成立,则( )
A.a≥0,b≥0 B.a≥0,b≤0
C.ab≥0 D.ab≤1
3 若 则x的取值范围是( )
A.x≥-3 B.x≥2
C.x>-3 D.x>2
B
B
探索新知
2
知识点
1. 是否相等 呢
2.当a≥0,b>0时,对 的关系提出你的猜想,
并说明理由.
探索新知
事实上, 理由如下:
(2)因为当a≥0,b>0时,
所以
探索新知
归 纳
商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算
术平方根 的商,
即 (a≥0,b>0).
探索新知
化简:
例 2
解:
解:
探索新知
总 结
利用商的算术平方根化简二次根式的方法:
(1)若被开方数的分母是一个完全平方数(式),则可以直接利用商的算术平方根,先将分子、分母分别开平方,然后求商;
(2)若被开方数的分母不是完全平方数(式),可根据分式的基本性质,先将分式的分子、分母同乘一个不等于0的数或整式,使分母变成一个完全平方数(式),然后利用商的算术平方根进行化简.
1 化简:
典题精讲
解:
典题精讲
2 若 则a的取值范围是( )
A.a≤0 B.a<0
C.a>0 D.0<a≤1
D
3 下列等式不一定成立的是( )
A. B.a3·a-5= (a≠0)
C.a2-4b2=(a+2b)(a-2b) D.(-2a3)2=4a6
A
探索新知
3
知识点
最简二次根式
在例2中,观察每个小题化简前后被开方数的变化,
请思考:
(1)化简前,被开方数是怎样的数
(2)化简后,被开方数是怎样的数 它们还含有能开得尽方的因数吗?
探索新知
归 纳
一般地,如果一个二次根式满足下面两个条件,那么,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式 .
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 .
如 都是最简二次根式 .
二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程 .
探索新知
下列各式中,哪些是最简二次根式,哪些不是最简二次根式 不是最简二次根式的,请说明理由.
例 3
导引:
根据最简二次根式的定义进行判断.
(1)不是最简二次根式,因为被开方数含有分母.
(2)是最简二次根式.
解:
探索新知
(3)不是最简二次根式,因为被开方数是小数(即含有分母).
(4)不是最简二次根式,因为被开方数24x中含有能开得尽
方的因数4,4=22.
(5)不是最简二次根式,因为x3+6x2+9x=x(x2+6x+9)=
x(x+3)2,被开方数中含有能开得尽方的因式.
(6)不是最简二次根式,因为分母中有二次根式.
综上,只有(2)是最简二次根式.
探索新知
总 结
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法:
利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断:
(1)被开方数不含分母,即被开方数必须是整数(式);
(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式),即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2. 另外,还要满足分母中不含二次根式.
典题精讲
1 在下列根式 中,最简二次根式有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
C
2 下列根式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
B
3 下列根式中,不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
B
学以致用
小试牛刀
1.一般地,形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数,“ ”称为二次根号.理解要点如下:
(1) 二次根式从形式上界定,必须含有_____;
(2) 二次根式从内容上看,a既可以是一个数,又可以是一个含有字母的式子,但必须注意______是a为二次根式的前提.
a≥0
2. =__________(a≥0,b≥0); =_____ (a≥0,b>0).
小试牛刀
3.最简二次根式应有如下两个特点:
(1)被开方数不含______;
(2)被开方数中不含能__________的因数或______.
4.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A.- B. C. D.
分母
开得尽方
因式
A
小试牛刀
5.已知 = ,则a的取值范围是( )
A.a≤0 B.a<0
C.0<a≤1 D.a>0
6.设 =a, =b,用含有a,b的式子表示0.54,则下列表示正确的是( )
A.0.3ab B.3ab C.0.1ab D.0.1a b
C
A
小试牛刀
7.已知y= + + ,求 + 的值.
解:由被开方数的非负性,得2x-1≥0,且1-2x≥0,
所以x≥ ,且x≤ . 所以x= .
将x= 代入已知条件,得y= .
所以 + =2+3=5.
小试牛刀
8.设△ABC的三边长分别为a,b,c,试化简:
【思路点拨】
解:因为a,b,c为△ABC的三边长,
所以a+b+c>0,b+c-a>0,a+c-b>0,
a+b-c>0.
所以原式=a+b+c+b+c-a+a+c-b-a-b+c=4c .
课堂小结
课堂小结
知识总结 知识方 法要点 关键总结 注意事项
积的算术 平方根 (a≥0,b≥0) a,b必须均为非负数
商的算术 平方根 (a≥0,b>0) 注意性质中b≠0的条件
最简二 次根式 二次根式的被开方式中都不含分母,并且也都不含能开得尽方的因式 一是被开方数中不能含有开的尽方的因数或因式,二是被开方数中不能含有分母,
课堂小结
方法规律总结:
表示实数a的平方的算术平方根 .
则是先求实数a的平方,再求a2的算术平方根 .
中,a可以取一切实数. 仅当a≥0时, =a .
同学们,
下节课见!
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(任务-发布任务-选择章节)