冀教版（新）八上-16.3 角的平分线 第二课时【优质课件】

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16.3 角的平分线
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
　　小丽用4根两两分别相等的木条订成了一个四边形 . 其中AB＝AD，BC＝DC . 他的做法是把点A放在角的顶点，AB和AD沿角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角的平分线 . 小丽的做法有道理吗 你能从中悟出什么规律 AC上得点有什么性质吗 你是怎样得到的
新课精讲
探索新知
1
知识点
角平分线的判定
1. 写出角平分线的性质定理的逆命题.
2. 根据这个逆命题的内容，画出图形.
3. 结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想.
4. 设法验证你的猜想.
探索新知
归　纳
　　到角的两边距离相等的点在角平分线上.
探索新知
如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D .
求证：AD平分∠BAC .
例 1
要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．
导引：
探索新知
∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，∵
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC .
证明：
探索新知
总 结
判定角平分线的两步：
(1)找出角的两边的垂线段；(2)证明两条垂线段相等．
1　在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　)
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
A
典题精讲
典题精讲
2　如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　)
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
C
典题精讲
3　如图，已知AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD
交于点O．求证：AC⊥BD．
∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上 .
∵CD＝CB，∴点C在线段BD的垂直平分线上 .
∵过两点有且只有一条直线，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD .
证明：
探索新知
2
知识点
三角形的角平分线
如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F . 求证BP为∠MBN的平分线．
例 2
导引：
本题主要考查角平分线的判定方法．本题只要证明出
点P到BM，BN的距离相等即可，而点P是∠MAC与
∠NCA的平分线的交点，故P到AM，AC的距离相等，
到CA，CN的距离也相等，从而可证明PD＝PF .
探索新知
证明：
过P作PE⊥AC于点E，如图所示．
∵AP平分∠MAC，PD⊥AM，PE⊥AC，
∴PD＝PE，
∵CP平分∠ACN，PF⊥CN，PE⊥AC，
∴PE＝PF，∴PD＝PF，
∴P在∠MBN的平分线上，
即BP为∠MBN的平分线．
探索新知
总　结
　　三角形的三条内角平分线相交于一点，三角形的两条外角平分线与一条内角平分线也相交于一点．
1　已知，如图，∠ABC的平分线BD与△ACB的外角平分线
CD相交于点D，连接AD，若∠BDC＝40°. 求∠DAC的度数．
典题精讲
解：
因为∠ABC的平分线BD与△ACB的外角平分线CD相交
于点D，所以，点D到直线AB，AC的距离相等，所以
AD是△BAC的外角平分线．
因为∠BDC＝180°－∠DBC－∠ACB－ (180°－∠ACB)
＝180°－ ∠ABC－90°－ ∠ACB
＝ (180°－∠ABC－∠ACB)＝ ∠BAC＝40°，所以∠BAC＝80°，
2　如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶ S△CAO＝_____________.
4∶5∶6
典题精讲
3　到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(　　)
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对
B
学以致用
小试牛刀
1 . 如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相
交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　 ）
A．∠1=∠2 B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2 D．无法确定
A
2 . 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，
连接AF，则下列结论正确的有（　 ）
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC D．以上结论都正确
B
小试牛刀
3 . 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，
若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　 ）
A. 有且只有1个
B. 有且只有2个
C. 组成∠E的角平分线
D. 组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
D
小试牛刀
4 . 已知：如图所示，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=
CD . 求证：D在∠BAC的平分线上 .
解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，∠BED＝∠CFD＝90°，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD ，
∴△BDE≌△CDF（AAS）. ∴DE=DF .
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴D在∠BAC的平分线上．
试题分析：首先根据已知条件易证Rt△BDE≌Rt△CDF
（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理
可得D在∠BAC的平分线上．
小试牛刀
5 . 已知如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB．
解：证明：∵∠2+∠PBN=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠PBN，过P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
则∠PMA=∠PNB=90°，在△PMA和△PNB中，
∴△PMA≌△PNB（AAS），∴PM=PN，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴OP平分∠AOB．
∠1=∠PBN
∠PMA=∠PNB
PA=PB
课堂小结
课堂小结
角的平分线的性质与判定定理的关系：
1.都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
2.点在角的平分线上　　　　　 点到这个角两边的距离相等．　
3.性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．
性质
判定定理
同学们，
下节课见！
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