冀教版（新）八上-16.3 角的平分线 第一课时【优质课件】

(共35张PPT)
16.3 角的平分线
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
　　下列图片中有你熟悉的数学图形吗 你能作出此图形的角的平分线吗
新课精讲
探索新知
1
知识点
角的平分线的画法
理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS”．
拓展：根据角平分线的作法可以作已知角的四等分线．
易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线”时，不能简单地叙述为“连接两点”，连接两点是线段，角平分线是射线而不是线段．
探索新知
如图，已知∠AOB .
求做：∠AOB的平分线 .
例 1
探索新知
如图 .
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线OA，
OB于点D，E .
(2)分别以点D，E为圆心，适当长为半径，在∠AOB内
部画弧，两弧相交于点C .
(3)作射线OC .
射线OC即为所求 .
作法：
探索新知
总 结
　　作法中“以适当长为半径”的目的是为方便作图，
不能太大或太小；“大于 EF的长为半径画弧”是因
为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时，画出的两
弧不能相交或交点不明显．
1　利用尺规作∠AOB的平分线的方法如下：如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于 CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点P，作射线OP . 此作法的依据是(　　)
A．SAS B．ASA
C．AAS D．SSS
D
典题精讲
2　用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，连接MN，则线段MN与线段OC的关系是(　　)
A．OC垂直平分MN
B．MN垂直平分OC
C．MN与OC互相垂直且平分
D．OC＝2MN
A
典题精讲
典题精讲
3　作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于点C，D，然后分别以点C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为(　　)
A．大于　CD B．等于　CD
C．小于　CD D．以上答案都不对
A
2
知识点
角的平分线的性质
探索新知
1.在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合. 从中你能得出什么结论
探索新知
2.按图所示的过程，将你画出的∠AOB依上述办法对折后，设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开铺平后，猜想线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.
探索新知
　　事实上，∠AOB是轴对称图形，它的平分线OC是对称轴 . 由折纸过程可知，PD＝PE，特别地，当折痕n与OB垂直时，可得出：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 .
探索新知
　　下面就来证明折纸过程中发现的结论 .
　　已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任
意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E .
　　求证：PD＝PE .
探索新知
证明：
在△PDO和△PEO中，
∵
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
∴ PD＝PE(全等三角形对应边相等).
探索新知
归　纳
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 .
探索新知
1.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
要点精析：
(1)点一定要在角平分线上；
(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；
(3)角平分线的性质定理可用来证明两条线段相等．
探索新知
2.书写格式：如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，
PE⊥OB于点E，
∴PD＝PE .
易错警示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离．
探索新知
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
BD是∠ABC的平分线，若DC＝6，则点D到AB
的距离是______．
例 2
导引：
根据角平分线上的点到角
的两边的距离相等，得到
点D到AB的距离等于DC .
6
探索新知
总 结
　　求某点到一条直线的距离，若条件中有角平分线，则联想到角平分线的性质定理，转化为该点到另一边的距离．
典题精讲
1　如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B . 下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
D
典题精讲
2 如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
B
典题精讲
3　如图：已知∠A＝35°，CD为AB的垂直平分线，则∠BCE＝____度．
70
学以致用
小试牛刀
1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于 M、N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为(　　)
A．15 B．30
C．45 D．60
B
小试牛刀
2 . 如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A. PC=PD B. ∠CPD=∠DOP
C. ∠CPO=∠DPO D. OC=OD
B
小试牛刀
3 . 如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分
∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，
则ΔDBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
A
4 . 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　 ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
C
小试牛刀
5 . 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，______________________________________ .　　
求证：_________．请你补全已知和求证，并写出证明过程．
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E
PD=PE
解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO（AAS）， ∴ PD=PE．
小试牛刀
6 . 如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，
且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM .
小试牛刀
6 . 如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，
且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（2）M为BC的中点．
解：（2）答如图 . 作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，即M为BC的中点．
课堂小结
课堂小结
1. 运用角的平分线的性质解与面积有关的问题的方法：
首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件解决问题．
2. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最常用的作辅助线的方法．
同学们，
下节课见！
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