冀教版（新）八上-17.1 等腰三角形 第一课时【优质课件】

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17.1 等腰三角形
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一
根横梁是否水平，你知道为什么吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
等腰三角形的定义
在我们的身边，许多物体的形状是两边相等的
三角形，如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外
沿形状等 .
探索新知
结 论
有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 .
如图，在△ABC中，AB＝AC . AB和AC 是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角.
顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
探索新知
导引：根据等腰三角形的定义可得，等腰三角形的另一腰的长为5或6，且都符合三角形三边关系．所以这个等腰三角形的周长等于5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17.
已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．11　　　 　 　B．16　　
C．17　　　 　 　D．16或17
例1
D
探索新知
总 结
本题运用分类讨论思想解题．此类问题容易出错的地方是：①忽视三角形的三边关系；②没有注意到分类讨论，直接误认为第三边长为5或者是6，而没有考虑到这两种可能均成立．
已知实数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　)
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
B
典题精讲
一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是(　　)
A．13 B．17
C．22 D．17或22
C
探索新知
2
知识点
等腰三角形的性质(等边对等角)
如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝AC .
∠B和∠C有怎样的关系？
∠B＝∠C，
下面我们来证明等腰三角形的两个底角相等 .
已知：在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C .
证明：如图，作为∠A的平分线AD . 在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACF(SAS) .
∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角想等) .
探索新知
等腰三角形的两个底角相等. (简称“等边对等角”)
归 纳
探索新知
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE分别为 ∠ABC，
∠ACB的平分线 . 求证：BD=CE .
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，
∠ACB的平分线，
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝ ∠ACB .
∵∠ABC=∠ACB(等边对等角)，∠ABD=∠ACE
(等量代换). AB=AC(已知），∠A=∠A(公共角），
∴△ABD ≌△ACE( ASA) .
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) .
探索新知
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等可得结论 .
总 结
典题精讲
如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC . 求证：∠C＝2∠D .
证明：∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D .
∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D .
∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D，
即∠ABC＝2∠D . ∴∠C＝2∠D .
典题精讲
如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC，若∠1＝70°，则∠BAC的大小为(　　)
A．40°
B．30°
C．70°
D．50°
A
典题精讲
如图，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列
结论正确的是(　　)
A．AC＞BC
B．AC＝BC
C．∠A＞∠ABC
D．∠A＝∠ABC
A
探索新知
3
知识点
等腰三角形的性质(三线合一)
如图，△ABC是等腰三角形，其中，AB=AC .
(1)我们知道，线段BC为轴对称图形，中垂线为它的对称轴 . 由AB=AC，可知道点A在BC的中垂线上 . 据此，你认为△ABC是轴对称图形吗？如果是，对称轴是哪条直线？
(2)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样
的关系？
探索新知
不难发现，等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴，底边上的高、中线和顶角的平分线三线重合.
下面，我们来证明等腰三角形的两个底角相等 .
从上面的证明过程还知道：
BD=CD(全等三角形的对应边相等)，
∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=∠ADC=90° .
因此，∠A的平分线AD，也是△ABC底边BC上的中线和高 .
探索新知
例3 如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M .
求证：CM＝MD .
导引：由已知AM⊥CD和结论CM＝MD，
联想到等腰三角形“三线合一”的性质，
由此连接AC，AD构造等腰三角形．
证明：如图，连接AC，AD .
在△ABC和△AED中，∵
∴△ABC≌△AED(SAS)． ∴ AC＝AD . 又∵AM⊥CD，∴CM＝MD .
探索新知
总 结
对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、底边上的中线还是顶角的平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：
1．如图甲的情形，需作底边上的高；
2．如图乙的情形，需作顶角的平分线；
3．如图丙的情形，需作中线；
4．如图丁的情形，需连接AD并延长．
典题精讲
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，DE，DF分别垂直AB，AC于点E和点F . 求证：DE＝DF .
证明：如图，连接AD.∵点D是BC的中点，∴AD是
△ABC的BC边上的中线．又∵AB＝AC，
∴AD平分∠BAC(三线合一)．
∵DE，DF分别垂直AB，AC于
点E和点F，∴DE＝DF.
典题精讲
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则 ∠C的度数为(　　)
A．35° B．45° C．55° D．60°
C
探索新知
4
知识点
等边三角形的性质
因为等边三角形的三边都相等，由等腰三角形的性质“等边对等角”可以得到：等边三角形的三个角都相等，由三角形的内角和是180°，所以等边三角形的每一个内角都是60° .
探索新知
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角
都等于60°.
归 纳
探索新知
例4 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD .
导引：要证AE＝CD，可通过证分别含有AE，
CD的两个三角形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，
条件可从等边三角形中去寻找．
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，
∠ABC＝∠DBE＝60°.
在△ABE与△CBD中，∵
∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD .
探索新知
运用等边三角形的性质证明线段相等的方法：把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件．
总 结
典题精讲
如图，已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边作等边三角形PCE，使点E，A在直线PC的同侧．求证：AE∥BC .
证明：∵△ABC和△PCE都为等边三角形，
∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠ABC＝∠ECP＝60°，
∴∠ACB－∠ACP＝∠ECP－∠ACP，即∠BCP＝∠ACE .
在△PCB和△ECA中，∵
∴△PCB≌△ECA.∴∠ABC＝∠CAE，∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC .
典题精讲
如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD . 其中正确结论的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
A
学以致用
小试牛刀
1.等腰三角形的两个______相等(简写成“等边对等角”)；这里要注意：
“等边对等角”是在__________三角形中．
底角
同一个
2.等腰三角形的顶角________、底边上的______、底边上的_____相互重合(简写成“_______________”)．
平分线
中线
高
三线合一
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，
CD＝4，则△ABC的周长是______．
20
小试牛刀
4.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　　)
A．40° B．50° C．60° D．70°
D
5.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，
则∠1的度数为(　　)
A．36° B．60°
C．72° D．108°
C
小试牛刀
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE
分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE＝(　　)
A．80°
B．60°
C．50°
D．40°
D
小试牛刀
7.如图，在△ABC中，∠ABC＝63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC
上的点，且AB＝AD＝DE＝EC，则∠C的度数是(　　)
A．21° B．19°
C．18° D．17°
A
8.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AD＝
3，BC＝4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
A
小试牛刀
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C
的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
小试牛刀
10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，
点E在AD上．请写出图中两对全等三角形，并
选择其中的一对加以证明．
解：△ABE≌△ACE， △EBD≌△ECD，
△ABD≌△ACD(任选其中的两对写出即可)．
选择△ABD≌△ACD证明如下(也可以选择其他两对进行证明)：
∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACD.
∵AD是角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD.
又∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACD(ASA)．
小试牛刀
11. 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O. 求证△AEC≌△BED .
证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE .
∵∠A＝∠B， ∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO.
∴∠AEC＝∠BED. 在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
课堂小结
课堂小结
等腰三角形中求角的度数的“三种方法”
(1)利用等边对等角得相等的角.
(2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出各角之间的关系.
(3)利用三角形内角和定理列方程.
课堂小结
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：
(1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂直于底边；
(2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；
(3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶角．
2.等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
同学们，
下节课见！
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