冀教版（新）八上-17.3 勾股定理 第一课时【优质课件】

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17.3 勾股定理
第1课时
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课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图是2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)的会标 . 它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图 . 用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位 .
新课精讲
探索新知
1
知识点
勾股定理
1.如图(1)，每个小方格都是边长为1的小正方形，在所围成的△ABC中，∠ACB=90°. 图中以AC，BC，AB为边的正方形的面积分别是多少？这三个正方形的面积之间具有怎样的关系？
探索新知
2. 图(2)是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图，∠ACB=90°. 分别以AC，BC，AB为边的三个正方形(红色框标出)的面积之间有怎样的关系？
3. 如图(3)，在△ABC中，∠ACB=90°，请你猜想：分别以AC，BC，AB为边的三个正方形的面积之间也具有图(1)和图(2)中三个正方形的面积之间所具有的关系吗？
如果具有这种关系，请用图(3)中Rt△ABC的边把这种关系表示出来 .
探索新知
归 纳
通过探究可知：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 .
探索新知
图是用四个全等的直角三角形拼成
的，其中，四边形ABDE和四边形CFGH
都是正方形.请你根据此图，利用它们之
间的面积关系推导出：a2 +b2=c2 .
如图，我国古代把直角三角形较
短的直角边叫做“勾”，较长的直角
边叫做“股”，斜边叫做“弦”. 因此，
直角三角形三边之间的关系称为勾股定理 .
探索新知
归 纳
如果直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c，那么a2+b2=c2 .
勾股定理也可叙述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .
探索新知
分析：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，即等腰三角形底边上的中线，底边上的高重合，利用三线合一的性质求得线段的长度后，再利用勾股定理求出AD边的长度 .
解：根据等腰三角形的三线合一，AD是底边上的高，可得
AD⊥BD . 即BD= BC= ×6=3(cm) . 在Rt△ABD中，
由勾股定理，得AB2=BD2+AD2，所以AD=4 cm .
如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC ，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD= cm．
例1
A
C
D
B
4
探索新知
总 结
在直角三角形中应用勾股定理求边长时，要分清斜边和直角边，避免盲目代入勾股定理的公式 .
典题精讲
1 下列说法中正确的是(　　)
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则a2＋b2＝c2
2 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则
下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
C
典题精讲
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是(　　)
A. B. C. D.
A
探索新知
2
知识点
勾股定理与图形的面积
例2 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各
边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2 ，S3分别表示这
三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=______．
分析：要求S2的面积，需要知道正方形的边长或边长的平方，利用勾股定理可以解答 .
解：由勾股定理，得AC2+BC2=AB2 . 又∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2 ，∴S1+S2=S3 . 即S2=S3－S1=225—81=144 . 故填144 .
点拨：本题将勾股定理与正方形面积公式结合起来，通过勾股定理解决正方形面积的问题，充分体现了它们之间存在的联系．
144
探索新知
正方形和直角三角形相结合可以求出图形的面积 .
总 结
如图所示，分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8．试求S3 .
解析：把正方形的面积用边长的平方表示，然后利用勾股定理求解．
典题精讲
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2+AC2=AB2．
所以S3=AB2=BC2+AC2=S1+S2=12．
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．7
D
典题精讲
典题精讲
如图，已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(　　)
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．不能确定
C
学以致用
小试牛刀
1．直角三角形____________________等于_____________．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________．
两直角边的平方和
斜边的平方
a2＋b2＝c2
2．勾股定理通常是用________法来验证的，因此很多涉及直角三角形的图形面积问题，通常用___________来解决．
面积
勾股定理
3．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2＋BC2的值为(　　)
A．18 B．9 C．6 D．无法计算
A
小试牛刀
4．我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．
10
小试牛刀
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
C
小试牛刀
6．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　　)
A．48 B．60
C．76 D．80
C
小试牛刀
7．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(　　)
A．2π B．4π
C．8π D．16π
A
小试牛刀
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形ABCD的面积．
解：如图，连接AC .∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ACD都是直角三角形．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则AC＝25 .
在Rt△ACD中，根据勾股定理，
得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则AD＝24 .
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ AB BC＋ AD CD
＝ ×20×15＋ ×24×7＝234(m2)
小试牛刀
9．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
【思路点拨】倍长中线BD，说明2BD
等于△ABC中BC边上的高．
解：
(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，
∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得DB＝3.
小试牛刀
(2)如图，延长BD至E，使DE＝DB，连接AE.
∵D是AC边的中点，
∴AD＝CD.
9．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
在△EDA和△BDC中，AD＝CD，∠ADE＝∠CDB，DE＝DB，
∴△EDA≌△BDC(SAS)．
∴∠DAE＝∠DCB . AE∥BC .
∵DB⊥BC，∴△ABC中BC边上的高的长等于BE的长．
易知BE＝2BD＝6，∴BC边上的高的长为6.
课堂小结
课堂小结
运用勾股定理时应注意以下几点：
(1)遇到求线段长度的问题时，能想到利用勾股定理 .
(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切记乱用勾股定理 .
(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条是斜边 .
课堂小结
勾股定理适用的前提条件是直角三角形：
由公式a2+b2=c2可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求第三条边长 .
在应用公式计算时要会灵活变形，常常要与乘法公式结合适用；如c2=a2+b2=(a+b)2－2ab或c2=a2+b2=(a－b)2+2ab；a2=c2－b2=(c+b)(c－b)等.
同学们，
下节课见！
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