冀教版（新）八上-17.4 直角三角形全等的判定【优质课件】

(共27张PPT)
17.4 直角三角形全等的判定
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
下课后，小强和小星为“边边角”是否成立展开了争论，小强认为，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，这两个三角形不全等．小星则画了如下的两个直角三角形(如图)．其中∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′，将它们从纸片上剪下来，发现它们重合，于是断定“边、边、角”对应相等的条件能判定两个三角形全等，你认为他说的有道理吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
判定两直角三角形全等的方法：斜边、直角边
我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等 .
由勾股定理可知，两边对应相等的两个直角三角形，其第三边一定相等 . 从而，这两个直角三角形一定全等 . 因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 . 证明过程如下：
探索新知
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠ C′=90°，AB = A′B′ ，AC= A′C′ . 求证：△ABC≌△A′B′C′ .
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠C=90°，∠C′=90°，
∴BC2=AB2－AC2，
B′C′2=A′B′2－A′C′2(勾股定理).
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS) .
探索新知
归 纳
斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等 .
这个定理可以简写为“斜边、直角边”或“HL”.
探索新知
已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C， D，且PC=PD . 求证：点P在∠AOB的平分线上 .
例1
证明：如图，作射线OP.
∵PC⊥OA， PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
∴Rt△OFC≌Rt△OPD( HL).
∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线上 .
探索新知
总 结
应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，必须强调是直角三角形．
典题精讲
如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝ 90°，F为AB延长线上一
点，点E在BC上，且AE＝CF . 求证： Rt△ABE≌Rt△CBF .
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90° .
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
典题精讲
2 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件正确的是(　　)
A．AC＝AD B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
3 下列可使两个直角三角形全等的条件是(　　)
A．一个锐角对应相等 　 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 　 D．两条边对应相等
A
D
证明：在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∵AC＝AD，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，∴∠CAB＝∠DAB .
在△AEC和△AED中，∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAE，AE＝AE，
∴△AEC≌△AED(SAS)， ∴CE＝DE .
探索新知
2
知识点
直角三角形全等的综合判定
例2 [探究题] 如图所示，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，
AC＝AD，E是AB上任意一点．求证：CE＝DE .
探索新知
直角三角形是一类特殊的三角形，它具有一般三角形的所有性质，因此，判定两个直角三角形全等时，完全可以采用一般三角形全等的判定方法．由于直角三角形中有一个直角，而直角都相等，所以在判定两个直角三角形全等时，要注意到这两个三角形中已经具备一对对应角相等的条件了，只需找另外两个条件即可，而HL定理是直角三角形独有的，所以运用HL定理时，一定要指出是直角三角形．
总 结
典题精讲
[易错题]如图，AB＝BC，AB⊥BC于B，FC⊥CB于C，E为BC上一点，BE＝FC，试说明：AE⊥BF .
解：∵AB⊥BC于B，FC⊥CB于C，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°.
∵AB＝BC，BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠A＝∠FBC .
∵∠A＋∠AEB＝90°，
∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∠BED＝90°，
∴AE⊥BF .
典题精讲
如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：①△ABD≌△ACD；②AB＝AC；③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线．其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
典题精讲
如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件： _______________________________，
使△AEH≌△CEB.
AH=CB(或EH=EB或AE=CE)
学以致用
小试牛刀
1．______和一条________分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“_______________”或“____”．
斜边
直角边
斜边、直角边
HL
2．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加 一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______________________．
AB＝DC(答案不唯一)
小试牛刀
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，若AD⊥BC，则可直接
判定△ABD和△ACD全等的方法是(　　)
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
D
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
C
小试牛刀
5．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，
则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；
④CE＝CD中，正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
6．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝134°，则∠EDF的度数为(　　)
A．44° B．36°
C．46° D．34°
A
小试牛刀
7．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.
(1)求证△ACB≌△BDA；
证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形．
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)．
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
(2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝______.
20°
小试牛刀
8．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N .
(1) 如图①，求证AE＝BD；
证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE .
∴△ACE≌△BCD(SAS)． ∴AE＝BD .
在△ACE和△BCD中，
小试牛刀
(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．
解：△ACB≌△DCE，
△EMC≌△BNC，
△AON≌△DOM，
△AOB≌△DOE .
课堂小结
课堂小结
判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，用“HL”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐角的对边，用“AAS”判定；②直角边是锐角的邻边，用“ASA”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“SAS”判定．
同学们，
下节课见！
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