冀教版（新）八上-17.5 反证法【优质课件】

(共29张PPT)
17.5 反证法
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明方法可能更方便 . 反证法就是一种常用的间接证明方法 .
新课精讲
探索新知
1
知识点
反证法的意义
在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多
有一个直角”这个结论 . 怎样证明它呢？
已知：如图，△ABC .
求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能
有一个直角 .
探索新知
证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设 ∠A=∠B =90°.
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A+∠B+∠C >180°.
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾 .
因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的 .
所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角 .
探索新知
归 纳
上面的证明过程，是先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果 . 因此，假设是错误的，原结论是正确的 .
这种证明命题的方法叫做反证法 . 反证法是一种间接证明的方法 .
探索新知
用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条之间所截，同位角相等 .
例1
已知：如图 . 直线AB∥CD，直线 EF分别与直线AB，CD交于点G， H，∠1和∠2是同位角 .
求证：∠1=∠2 .
探索新知
假设∠1≠∠2 .
过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1 .
∴∠EGN=∠1，
∴ MN∥CD(基本事实) .
又∵AB∥CD(已知)，
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行 . 这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾 .
∴∠1≠∠2的假设是不成立的 . 因此，∠1=∠2 .
证明：
探索新知
总 结
对于本题，要先写出已知、求证，然后运用反证法证明.
典题精讲
用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
解：已知：在△ABC中，AB＝AC .
求证：∠B和∠C都是锐角．
证明：假设等腰三角形ABC的底角∠B和∠C都不是锐角，则∠B≥90°，∠C≥90°，
所以∠B＋∠C≥180° .
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，
这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立，即∠B和∠C都是锐角．
所以等腰三角形的底角是锐角．
典题精讲
用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设(　　)
A．a∥b B．a与b垂直
C．a与b不一定平行 D．a与b相交
3 用反证法证明命题“如果x＞y，那么x3＞y3”时，假设的内容应
是(　　)
A．x3＝y3 B．x3＜y3
C．x3＜y3或x3＝y3 D．x3＜y3且x3＝y2
D
C
探索新知
2
知识点
用反证法证明的步骤
用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是：
第一步，假设命题的结论不成立 .
第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果 .
第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的 .
探索新知
已知：如图，在 △ABC和△A′B′C′中，
∠C=∠C′ =90°，AB=A′B′=AC=A′C′，
求证：△ABC≌△A′B′C′.
用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 .
例2
探索新知
假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′ .
不妨设BC＜B′C′ . 如图 . 在B′C′上截取连接A′D .
在△ABC和△A′B′C′ 中，∵AC = A′C′，∠C = ∠C′，CB = C′D，
∴△ABC≌△A′DC′(SAS) . ∴AB = A′D(全等三角形的对应边相等) .
∴AB = A′B′ (已知)，∴A′B′ = A′D(等量代换) .
∴∠B′ = ∠A′DB′(等边对等角) .
∴∠A′DB′ ＜90°(三角形的内角和定理)，
证明：
即∠C′＜∠A′DB′＜90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角).
这与∠C′＝90°相矛盾 . 因此，BC≠B′C′的假设不成立，
即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立 .所以，△ABC≌△A′B′C′.
探索新知
用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知矛盾，也可以是与某个定义、公理、定理矛盾 .
总 结
典题精讲
用反证法证明在一个三角形中，不能有两个角是钝角．
解：已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角．
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨
设∠A＞90°，∠B＞90°，则∠A＋∠B＋∠C＞
180°，这与三角形的内角和定理相矛盾. 故 ∠A，
∠B均大于90°不成立．
所以，在一个三角形中不能有两个钝角．
典题精讲
2 用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是：
(1)第一步，假设命题的结论________．
(2)第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件__________的结果．
(3)第三步，由矛盾的结果，判定假设________，从而说明命题的结论是________．
不成立
相矛盾
不成立
正确的
典题精讲
用反证法证明：若a，b，c是不全为0的实数，且a＋b＋c＝0，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数．
证明：假设a，b，c都不是______，
∵a，b，c不全为0，
∴a，b，c中至少有一个为正数，
∴a＋b＋c______0，这与已知相________，
∴______________，原命题成立，
即a，b，c这三个数中至少有一个负数．
负数
＞
矛盾
假设不成立
学以致用
小试牛刀
1 . 先假设原命题结论________，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的定理_______的结果，因此，假设是_______，原结论是________，这种证明命题的方法叫做反证法．
不正确
相矛盾
错误的
正确的
2 . 已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b．
证明：假设________，则________，这与________
相矛盾，所以_________不成立，所以a不平行b．
a平行b
∠1=∠2
∠1≠∠2
a平行b
小试牛刀
3.用反证法证明一个三角形的三个内角中不能有两个钝角，第一步
应假设（ ）
A.三角形的三个内角中能有两个钝角
B.三角形的三个内角中能有两个直角
C.三角形的三个内角中能有两个锐角
D.不能确定
4.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
A.有一个解 B.有两个解
C.至少有三个解 D.至少有两个解
A
C
小试牛刀
5.用反证法证明：同一平面内，若一条直线与两条平行线的一条相交，
则必与另一条相交 .已知：同一平面内，l1∥l2，l1与l3相交于点A，
如图 . 求证：l3必与l2相交 .
A
l1
l2
l3
证明：假设l3与l2不相交，
则l3∥l2，∵l1∥l2，l3∥l2，
∴l1∥l3，这与已知l1与l3相交于点A相矛盾，
∴假设不成立 . 故l3必与l2相交 .
小试牛刀
6 . 用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
小试牛刀
7 . 证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，
求证：PB≠PC．
证明：假设PB≠PC不成立，
则PB=PC，∠PBC=∠PCB；
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB；∴∠ABP=∠ACP；
∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；
与∠APB≠∠APC相矛盾．
因而PB=PC不成立，则PB≠PC．
课堂小结
课堂小结
用反证法证明时要明确“两点”：
1．用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否定已知条件．
2．适合用反证法的命题类型：
(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；
(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
(3)结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．
同学们，
下节课见！
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