人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
北师大版 九年级下册
垂径定理
知识回顾
2.它的对称轴是什么
是
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线
3.你能找到多少条对称轴？
它有无数条对称轴.
●O
1.圆是轴对称图形吗？
新知讲解
●O
A
B
C
D
M└
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
新知讲解
连接OA,OB,则OA=OB.
●O
A
B
C
D
└
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
理 由：
M
⌒
⌒
AC和 BC重合，
⌒
AD 和BD重合
⌒
⌒
⌒
AC= BC
⌒
⌒
AD= BD
新知讲解
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
(2)
(1)
(3)
(4) (5)
新知讲解
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
几何语言
垂径定理
新知讲解
判断下列图形，能否使用垂径定理？
O
C
D
B
A
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
×
×
√
B
O
C
D
A
O
C
D
E
新知讲解
③CD⊥AB,
垂径定理的逆定理
●O
C
D
由 ① CD是直径
② AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
● M
A
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
新知讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
想一想
O
C
D
B
A
垂径定理的逆定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
不成立
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如.
新知讲解
新知讲解
垂 径 定 理 的 几 个 基 本 图 形
新课讲解
E
O
D
C
F
1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。
⌒
⌒
⌒
新课讲解
解这个方程，得R=545.
E
O
D
C
F
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得
OC =CF +OF
即 R =300 +(R-90) .
所以，这段弯路的半径为545m.
课堂练习
2.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB.
└
课堂练习
解：连接OA，
在⊙O中，直径CD⊥AB，
∴ AB =2AM，
△OMA是直角三角形.
∵ CD = 20，
∴ AO = CO = 10.
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6.
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6，
根据勾股定理，得：
∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.
└
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
A
B
C
D
O
h
r
d
O
A
B
C
·
方法归纳：
课堂练习
拓展提高
1.我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
拓展提高
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
拓展提高
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
.
A
C
D
B
O
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
拓展提高
3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
课堂总结
今天我们学习了哪些知识？
　　　　　　　　　　直径平分弦
　 直径垂直于弦=>　　
　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧
　　　　　　　　　　　　　　 直径垂直于弦
　 直径平分弦（不是直径）　　
　　　　　　　　　　　　　　直径平分弦所对的弧
　　　　　　　　　 直径平分弧所对的弦
直径平分弧　　　
直径垂直于弧所对的弦
　　
=>　
=>　
１、圆是轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
板书设计
3.3垂径定理
1.垂径定理： 几何语言 2.垂径定理的逆定理： 关系
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