冀教版（新）八上-14.3 实数【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
14.3 实数
无理数
学习目标：
1.理解无理数的概念.（难点）
2.理解实数的概念.(重点）
学习重点：开平方运算.
学习难点：平方根的性质及开平方运算.
知识链接
1. （1） （2）—=
（3） （4）
二、新知预习
2.如图所示，在Rt△ABC中，两条直角边AC=BC=2,如果将Rt△ABC延斜边AB上的高CD剪开后，拼成如图（2）所示的正方形，那么这个正方形的边长是多少？
讨论：
（1）对于整数—3，—2，—1，0，1，2，3，它们的的平方分别等于 结果是怎样的数 ，有平方等于2的正数吗？ .
（2）对于分数—，—，—，，—，—，它们的平方分别等于 ，结果是怎样的数？
有平方以后等于2的分数吗？
（3）m是有理数吗？
探究：
（1）通过计算器得=1.414213562373·······根据以上的结果，我们知道不是有理数而是一个 小数
（2）我们知道的圆周率也是一个 小数.你还可以举出类似的小数吗？
我们把这样的数叫无理数，即无理数：无限不循环小数像π， ，，0.101001……..
实数：_______和_________统称为实数.
三、自学自测
1、判断下列说法是否正确：
（1）无限小数都是无理数.（ ）
（2）无理数都是无限小数.（ ）
（3）带根号的数都是无理数.（ ）
2.在下列各数中，哪些数是有理数，哪些数是无理数？
—， 3.14，2.8 ，，，，，—
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
要点探究
探究点：无理数及实数的概念
问题：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3．14，－，0.，－0.125，－5π，0.35，，5.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．
【归纳总结】准确理解有理数和无理数的概念是解答本题的关键．任何有限小数或无限循环小数都是有理数；无限不循环小数称为无理数，故－5π，5.3131131113…是无理数，其他都是有理数．
【针对训练】
1.把下列各数分别填入相应的集合里:
－|－3|，21.3，－1.234，,0，,,,,，3－2，1.212 112 111 2….
(1)无理数集合｛_____________…｝;
(2)有理数数集合｛___________…｝.
2.下列说法正确的有（ ）
⑴不存在绝对值最小的无理数；
⑵不存在绝对值最小的实数；
⑶不存在与本身的算术平方根相等的数；
⑷比正实数小的数都是负实数；
⑸非负实数中最小的数是0.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
二、课堂小结
内容
无理数 ___________小数.
实数 _______和_________统称为实数.
有理数与无理数的主要区别 (1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．
实数的性质
学习目标：
1.能够根据实数的定义对实数进行分类.(重点）
2.理解实数和数轴上的点成一一对应关系.
3.理解实数的相反数、绝对值、倒数的意义.（难点）
学习重点：实数的分类.
学习难点：实数的相反数、绝对值、倒数的意义.
知识链接
1.在下列各数中，哪些数是有理数，哪些数是无理数？
，0.8482 ，— ， ， ， ，0.015.
答：__________________________________________________________________________.
二、新知预习
2.如图，将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
线段OA,OB的长分别是多少？
点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数？
实际上，图中小正方形的边长是________;所以线段OA的长为________.同理，线段OB的长为________与点B对应的数是______________；
由此可知，无理数、可以用数轴上的点来表示.在数轴上，按负方向取点A`，使OA`=OA,则点A'对应的数是—.
同理可知，无理数也可以用数轴上的点来表示.
事实上，每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数.
那么，实数和数轴上的点是什么关系呢？
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的；例如果a是一个正实数那么—a就是一个 ，它们互为 .
的倒数是 . 没有倒数，除 外的任意实数a的倒数为 .︱︱= ，︱-︱=
所以 一个正实数的绝对值是 ;
一个负实数的绝对值是 ;
0的绝对值是 .
3.思考：实数可以分为哪几类？
三、自学自测
1.（1）的相反数为 ，绝对值为 ，倒数是 .
（2）的相反数是 ，绝对值为 ，倒数是 .
（3）的相反数是 ，绝对值为 ，倒数是 .
（4）的相反数是 ，绝对值为 ，倒数是 .
2.有理数、无理数都有正数和负数之分，请将实数按正实数和负实数另行分类.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：实数与数轴上的点
问题1：如图所示，数轴上AB两点表示的数分别是-1和，点C在点B的右侧且AB=BC，求点C所表示的实数.
【归纳总结】本题主要考察了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数之差的绝对值.
【针对训练】
如图，数轴上点N表示的数可能是( )
A. B. Ｃ. D.
问题2：如图所示，数轴上AB两地那表示的数分别是和5.1，则AB两点之间表示整数的点共有( )
A .6个 B.5个 C.4个 D.3个
【归纳总结】本题要确定两点之间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
【针对训练】
如图所示，数轴上AB两地那表示的数分别是和5.1，则AB两点之间表示整数的点的和是( )
A .6 B.7 C.8 D.9
探究点2：实数的倒数、相反数及绝对值
问题2：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：.
【归纳总结】本根据绝对值的意义正确地去绝对值是解题的关键.
【针对训练】
实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示.化简＝________________.
问题1：求下列各数的倒数、相反数和绝对值.
；（2）-；（3）-1+.
【归纳总结】只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数时，只需要在这个数前面加上“-”号再去括号即可.求一个数的倒数要注意这个数是否为0.求一个数的绝对值，需要分清这个数的正负.
【针对训练】
1.有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。
A.－1 B.1 C.0 D.±1
2.绝对值是的数是 ；的相反数是 ,绝对值是 .
探究点3：实数的分类
问题：把下列各数分别填入相应的集合里:
－|－3|，21.3，－1.234，,0，,,,,，3－2，1.212 112 111 2….
(1)无理数集合｛_____________…｝;
(2)负分数集合｛___________…｝;
(3)整数集合｛___________…｝;
(4)非负数集合｛___________…｝.
【归纳总结】正确理解实数和有理数的概念，做到分类比遗漏不重复.
【针对训练】
把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}
整数集合{ …}
分数集合{ …}
实数集合{ …}
二、课堂小结
内容
实数与数轴 每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数.
实数的倒数、相反数和绝对值 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的.a是一个正实数那么—a就是一个 ，它们互为 . 没有倒数，除 外的任意实数a的倒数为 .一个正实数的绝对值是 ;一个负实数的绝对值是 ; 0的绝对值是 .
实数的分类
实数的运算
学习目标：
1.复习并巩固实数的概念及分类.
2.掌握实数的大小比较法则和估算.(重点）
学习重点：实数的大小比较.
学习难点：实数的大小比较及估算.
知识链接
下列说法：
①有限小数和无限小数都是有理数。②分数是有理数。③无限小数是无理数④是分数
其中正确的有（ ）
A 1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.实数与数轴上的点有什么关系？
答：_______________________________________________________________________.
新知预习
3.如图，将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
我们已经知道AO=，BO=.
我们由这两个正方形的面积大小，能不能得到它们边长的大小？
将面积大小为a和b（a>b）的两个正方形按照上图所示的方式摆放，它们的边长大小和关系是怎样的呢？
一般地，已知两个正数a和b，如果a>b那么_____；反过来如果_____，那么a>b.
数轴上的两个点，_____的点表示的数大于______的点表示的数.
三、自学自测
1.比较下列各组数的大小
（1） 和 ;（2）和;
（3）0.5和 ;（4）和.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：实数的大小比较
问题1：已知0A．x<C．x2【归纳总结】当直接比较大小较困难时，我们可以采用特殊值法，所取特殊值必须符合两个条件：(1)在字母取值范围内；(2)求值计算简单．而求实数的相反数、倒数、绝对值的方法与求有理数的相反数、倒数、绝对值的方法是一样的．
【针对训练】
已知-1探究点2：实数的估算
问题1：估算－2的值(　　)
A．在1和2之间 B．在2和3之间
C．在3和4之间 D．在4和5之间
【归纳总结】利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．
【针对训练】
1.设，则下列结论正确的是( )
A.4.5＜a＜5.0 B.5.0＜a＜5.5
Ｃ.5.5＜a＜6.0 D.6.0＜a＜6.5
在两个连续整数和之间，即，那么、的值是
问题2：已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
【归纳总结】解此题的关键是确定的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．
【针对训练】
1.已知的整数部分为a，小数部分为b，则（1）a+b= （2）a－b= .
2.的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
二、课堂小结
内容
实数的大小比较 一般地，已知两个正数a和b，如果a>b那么_____；反过来如果_____，那么a>b.数轴上的两个点，_____的点表示的数大于______的点表示的数.
常用方法：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．
实数的估算 用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．
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