冀教版（新）八上-17.5 反证法【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
反证法
【学习目标】
知识与能力：通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【学习重难点】
学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。
【学法指导】
通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。
【学习过程】
一、学前准备
1、复习回顾
两点确定 条直线；过直线外一点有且只有 条直线与已知直线平行；过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。
2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗 答： 。
他运用了怎样的推理方法 答： 。
3、自学课本，写下摘要疑惑：
（1）摘要：
反证法：在证明一个命题时,人们有时先假设 不成立,从这样的假设出发,经过 得出和已知条件矛盾,或者与 等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法.
反证法证题的基本步骤：
1． 命题的结论的反面是正确的；（反设）
2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与 矛盾；（归缪）
3．由 判定假设不正确，从而 命题的结论是正确的.（结论）
（2）疑惑：
二、自学、合作探究
1、用具体例子体会反证法的含义及思路
思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.
求证；a2＋b2≠c2.
有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.
假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.
什么叫反证法 （A、B 组自己归纳;C、D组看课本）
2、由上述的例子归纳反证法的步骤（A、B组自己归纳; C、D组看课本）
1．
2．
3．
3、学以至用
已知：在△ABC中，AB≠AC
求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设　　　　　，则　　　　　（　　　　　　　）
这与　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．
∴　　　　　　　　．
三、例题讲解
例1．求证：两条直线相交只有一个交点.
已知： ；
求证： ；
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点 ”矛盾，所以假设不成立，
则 ．
例2．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
已知： ；
求证： ；
证明：假设 ，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。
∴ 。
例3.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知： ；
求证： ；
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，则　　　　　　　　　　　　　　　　　。
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　　　　　　　　　　　。
这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
四、学习体会
通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种 （填间接或直接）证明命题的方法，反证法证题的基本步骤是 、 、 （用六个字概括）；希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.
五、自我测试
1、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。（C、D组完成）
（1）已知：
（2）求证：
（3）三角形的内角和等于
（4）这个命题如果不成立，那么其“反面”
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等. （A、B组完成）
3．否定下列命题的结论：
（1） 在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。 。（C、D组完成）
（2） 如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径） （C、D组完成）
（3） 在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。 （A、B组完成）
（4） 在⊿ABC中，至多有只有一个直角。 （A、B组完成）
4、选择题：
证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）
A， 三角形中至少有一个直角或钝角
B， 三角形中至少有两个直角或钝角
C， 三角形中没有直角或钝角
D， 三角形中三个角都是直角或钝角
用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
六、自我提高
1．“aA．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b
2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交
3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设 ．
4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设 ．
5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5． 。
6．完成下列证明．
如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．
当∠B是 时，则 ，这与 矛盾；
当∠B是 时，则 ，这与 矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
8． 若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设 ．
9. 求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角（A、B组完成）
10. 求证：一个三角形中不能有两个直角. （C、D组完成）
七、拓展 应用
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。
求证：PB≠PC
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