冀教版（新）九上-24.1 一元二次方程 【优质课件】

(共49张PPT)
24.1 一元二次方程
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
　　方程是一类重要的数学模型，在现实生活中具有广泛的应用. 在学习了一元一次方程、二元一次方程组和分式方程的基础上，现在我们来学习一元二次方程 .
新课精讲
探索新知
1
知识点
一元二次方程的定义
如图，某学校要在校园内墙边的空地上 修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙
(墙长 22 m)，另外三面用
90 m长的铁栅栏围起来.如
果这个存车处的面积为700 m2,
求这个长方形存车处的长和宽.
探索新知
分析下面小明和小亮列方程的做法，思考所列方程的特征.
设长方形存车处的宽(靠墙的一 边)为xm，则它的长 为m.
根据题意，可得方程
整理，得x2－90x＋1400=0.
小明的做法
设长方形存车处的长(与墙垂 直的一边)为x m，则它的宽为 (90－2x)m.
根据题意，可得方程
(90－2x) x=700.
整理，得x2 －45x＋350=0.
小亮的做法
探索新知
如图，一个长为10 m的梯子斜靠 在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m. 如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B 在地面上滑动的距离是多少米？
如果设梯子的底端
B 在地面上滑动的距离
为xm，请列出方程，
并谈谈所列方程的特征.
探索新知
在上面的问题中，我们得到方程：
x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0，
x2 ＋12x－15=0.
探索新知
归 纳
x2－90x＋1400=0，x2 －45x＋350=0，
x2 ＋12x－15=0.
它们都是关于未知数x的整式方程，且x的最高次数都为2. 像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程(quadratic equation in one variable).
探索新知
例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有(　　)
A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个
A
导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次项系 数为零．
探索新知
总 结
识别一个方程是不是一元一次方程，必须注意这几点：(1)等号的两边都是整式；
(2)所含未知数只有一个；
(3)未知数的最高次数为1，
(4)未知数的系数不为0.这四个条件缺一不可.
典题精讲
下列关于x 的方程一定是一元二次方程的是(　　)
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0
若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x 一元二次方程，则(　　)
A．m＝1　 B． m＝－1　
C． m＝±1　 D．m≠±1
1
2
D
B
探索新知
2
知识点
一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax +bx+c=0 (a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
探索新知
一元二次方程的项和各项系数
a x +b x+ c =0
二次项系数
一次项系数
a≠0
二次项
一次项
常数项
探索新知
(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0 时，方程才是一元二次方程，但b，c 可以是0.
(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．
(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数的系数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起．
(4)若已明确指出方程是一元二次方程，则有“二次项系数不为零”这一条件成立．
探索新知
例2 将一元二次方程(x－2)(x＋1)＝2x＋5化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
各部分名称是在一般形式下定义的，因此必须先将原方程转化为一般形式再进行回答．
导引：
整理方程得：x2－3x－7＝0，
所以二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项是－7.
解：
探索新知
总 结
当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，一般要把它转化为正数，若系数是分数，一般要把它转化为整数．
典题精讲
1 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c 的值分别是(　　)
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2
A
2 关于x 的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0的常数项为0，则m等于(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0
B
探索新知
3
知识点
一元二次方程的解(根)
定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做这个方程的根．
(1)判断某个数是方程的根的条件：
使方程左右两边相等．
(2)根据方程的根的定义可以判断一个数是不是方程的根．
探索新知
例3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？
－3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根．
解：－1，2.
探索新知
总 结
检验一个数是否为方程的解或根，只要把这个数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否相等．在找解时注意使一元二次方程左右两边相等的未知数的值不一定只有一个．
典题精讲
1 方程x2+x－12＝0的两个根为(　　)
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
D
若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＋c＝1
B．a－b＋c＝0
C．a＋b＋c＝0
D．a－b＋c＝1
C
探索新知
4
知识点
建立一元二次方程模型解决实际问题
一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．
2．常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、增长(利润)率、行程问题、工程问题等．
探索新知
建立一元二次方程模型的一般步骤：
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；
(2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；
(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
探索新知
例4 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整个挂图面积的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列出方程．
本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂图的面积．
在油画四周外围镶上宽度为x cm的边框，则整个挂图的长与宽各增加了多少？
利用长方形的面积公式和油画面积与整个挂图面积之间的关系列方程.
x
90
40
40+2x
90+2x
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
探索新知
总 结
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．
典题精讲
随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是( )
A．20(1＋2x)＝28.8
B．28.8(1＋x)2＝20
C．20(1＋x2)＝28.8
D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
C
探索新知
1
类型
利用一元二次方程的定义确定字母的取值
已知(m－3)x2＋ x＝1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是(　　)
A．m≠3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
点拨：由题意，得 解得m≥－2且 m≠3.
D
探索新知
2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.
(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
(1)当 时，它是一元二次方程，解得m＝1.
当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0.
(2)当m－2≠0，m＋1＝0或者当m＋1＋(m－2)≠0且
m2＋1＝1时，它是一元一次方程．
解得m＝－1或m＝0.
故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．
解：
探索新知
2
利用一元二次方程的项的定义求字母的取值
类型
3．若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项，则a 的值为________．
由题意得 解得a＝8.　
8
点拨：
探索新知
4．已知关于x 的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m 的值．
由题意，得 解得m＝－1.
解：
探索新知
3
利用一元二次方程的根的定义求字母或代数式的值
类型
5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b 的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0.
∴a(a－b＋1)＝0.
∵a≠0，∴a－b＝－1.
点拨：
A
探索新知
6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k的值．
把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0，
得k2－16＝0，
解得k1＝4，k2＝－4.
∵k＋4≠0，∴k≠－4，
∴k＝4.
解：
探索新知
7．已知实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2 017a－ 的值．
∵实数a是一元二次方程x2－2 018x＋1＝0的一个根，
∴a2－2 018a＋1＝0.
∴a2＋1＝2 018a，a2－2 018a＝－1.
∴a2－2 017a－
＝a2－2 017a－
＝a2－2 017a－a
＝a2－2 018a＝－1.
解：
探索新知
4
利用一元二次方程的根的定义比较大小
8．若x0是方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0)的一个根，设M＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N的大小关系正确的为(　　)
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．不确定
类型
把x0代入方程ax2＋2x＋c＝0得ax02＋2x0＝－c，
再利用作差法比较可得．
B
点拨：
探索新知
5
利用一元二次方程的根的定义解决探究性问题
9．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在 实数a 使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
类型
由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，
∴m2－2m＝1，n2－2n＝1.
∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋
a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)，
由－4(a＋7)＝8得a＝－9，
故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.
解：
学以致用
小试牛刀
1.等号两边都是整式，只含有______个未知数，并且未知数的最高次数
是____的方程，叫做一元二次方程．它具备三个特征：
(1)等式两边都是整式；
(2)只含______个未知数；
(3)未知数的最高次数是______．
一
2
一
2
2.一元二次方程x2－2x＝1的一般形式是________________，二次项系
数是______，一次项系数是______，常数项是______．
x2－2x－1＝0
1
－2
－1
小试牛刀
3.在某次聚会中，参加聚会的每两人都握了一次手，一共握了66次手，
共有多少人参加了这次聚会？
解：设有x人参加了这次聚会，则每人握了______次手，由于每两人只
握一次手，故总共握了________次手，列方程得___________，化成
一般形式为________________．
(x－1)
x2－x－132＝0
小试牛刀
4.若方程 是关于x的一元二次方程，则a
的值为(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．以上都不对
B
5.一元二次方程4x2＋x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别
是(　　)
A．4，0，1 B．4，1，1
C．4，1，－1 D．4，1，0
C
小试牛刀
6.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为－1，则下
列结论正确的是(　　)
A．a＋b＋c＝1
B．a－b＋c＝0
C．a＋b＋c＝0
D．a－b＋c＝1
B
小试牛刀
7.已知关于x的方程(m2－1)x2－(m＋1)x＋m＝0.
(1)m为何值时，此方程为一元一次方程？
若方程为一元一次方程，则有
∴m＝1.
(2)m为何值时，此方程为一元二次方程？并写出一元二次方程的二次
项系数、一次项系数及常数项．
若方程为一元二次方程，则有m2－1≠0，即m≠±1.
二次项系数：m2－1；
一次项系数：－(m＋1)；常数项：m.
小试牛刀
8.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为－1，且a，
b满足等式 ，求此一元二次方程．
解：∵－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，
∴a－b＋c＝0.
又 ，由a－2≥0，2－a≥0得a＝2，∴b＝－1，∴c＝－3.
故这个一元二次方程为2x2－x－3＝0.
小试牛刀
9.设a，b，c分别是关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系
数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程：
(1)a∶b∶c＝3∶4∶5，且a＋b＋c＝36；
解：设一份为k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴3k＋4k＋5k＝12k＝36，
解得k＝3.∴a＝9，b＝12，c＝15，则方程为9x2＋12x＋15＝0.
小试牛刀
9.设a，b，c分别是关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系
数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程：
(2)
由非负数的性质得a－2＝0，b－4＝0，c－6＝0，
解得a＝2，b＝4，c＝6，则方程为2x2＋4x＋6＝0.
课堂小结
课堂小结
一元二次方程
建立一元二次方程的模型
一元二次方程的定义
一元二次方程的根
一元二次方程的一般形式
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）