冀教版（新）九上-24.2 解一元二次方程 第三课时【优质课件】

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24.2 解一元二次方程
第3课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
李强和萧晨看到一个关于x 的一元二次方程x2＋(2m－1)x+(m－1)=0, 那你们认为呢 并说明理由.
此方程有两个不相等的实数根
不一定，根的情况跟m
的值有关
新课精讲
探索新知
1
知识点
一元二次方程根的判别式
按下面的步骤将一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 进行配方：
移项，得____________.
二次项系数化为1，得_______________.
配方，得
整理，得______________.
于是，得到
探索新知
(1)当b2－4ac＞0时，
得
方程有两个不相等的实数根：
(2)当b2－4ac＝0时，
得
方程有两个相等的实数根：
探索新知
(3)当b2－4ac＜0时，
而
所以方程没有实数根.
于是我们得到：
我们把b2－4ac叫做一元二次方程a x2＋b x＋c＝0的根的判别式.
对于一元二次方程a x2＋b x＋c＝0 ：
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.
探索新知
例1 求下列一元二次方程的根的判别式的值.
(1) (2)
导引：
解：
根的判别式是在一般形式下确定的，因此应先
将方程化成一般形式，然后算出判别式的值．　　　
(2)原方程化为:
(1)原方程化为:
探索新知
总 结
求一元二次方程的根的判别式时应注意两点：
一是将方程化成一般形式后才能确定a，b，c的值；
二是确定a，b，c的值时不要漏掉符号．
典题精讲
1
方程4x2＋x＝5化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a，b，c的值为(　　)
A．a＝4，b＝1，c＝5　　　　　
B．a＝1，b＝4，c＝5
C．a＝4，b＝1，c＝－5
D．a＝4，b＝－5，c＝1
2
已知方程2x2＋mx＋1＝0的判别式的值为16，则m的值为(　　)
A . 　 　B . 　 　
C . 　 　D .
C
C
探索新知
2
知识点
一元二次方程根的类别
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况：
当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ< 0时，方程无实数根．
探索新知
例2 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) x2＋3x＋2＝0； (2) x2－4x＋4＝0；(3) 2x2－4x＋5＝0.
解：
(1)这里a＝1，b＝3，c＝2.
∵b2－4ac＝32－4×1×2＝1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)这里a＝1，b＝－4，c＝4.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×4＝0，
∴原方程有两个相等的实数根.
(3)这里a＝2，b＝－4，c＝5.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0，
∴原方程没有实数根.
典题精讲
一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
1
B
一元二次方程x2－x－1＝0的根的情况为(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2
A
探索新知
3
知识点
一元二次方程根的判别式的应用
若条件中说方程有两个实数根，则隐含该方程为一元二次方程．利用根的判别式求待定字母系数的取值范围时，易忽视二次项系数不为零的隐含条件．
探索新知
关于x 的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m≤3　　　　　　　 B．m＜3
C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
例3
导引：
根据一元二次方程有实数根，可知方程根的判别式大于或等于零，从而建立关于m的不等式，再求解即可．因为一元二次方程有实数根，所以Δ≥0，即4－4(m－2)≥0，解得m≤3，又因为方程为一元二次方程，所以m－2≠0，即m≠2，故选D.
D
探索新知
总 结
一元二次方程有实数根，包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根，即Δ≥0，易漏掉相等这种情况；
(2) 求待定系数的取值范围时易忽视一元二次方程的前提条件：
二次项系数不为零．
典题精讲
1
若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实数根，则a 的取值范围是(　　)
A．a≥1 B．a＞1
C．a≤1 D．a＜1
A
2
a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
B
典题精讲
3
若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b 的大致图象可能是(　　)
B
学以致用
小试牛刀
1.下列一元二次方程中，没有实数解的方程是（ ）
A．x -2x-2=0 B． x -2x+2=0
C．x -2x+1=0 D．x -x-2=0
2.一元二次方程x +x+0.25=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
B
B
小试牛刀
3.一元二次方程x -2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．m＞0 B． m=1
C．m＜1 D．m≤1
4.已知关于x的一元二次方程ax +bx+c=0，如果a>0，a+cA．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．必有一个根为0
D
A
小试牛刀
5.若，则关于的一元二次方程根的情况是____________．
6.写一个你喜欢的实数的值________，使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
7.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
无实数根
1
小试牛刀
8.已知关于的方程．
当取何值时，方程有两个不相等的实数根．
为选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
小试牛刀
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即：解得；
∵，
∴取，
方程为，
解得，．
小试牛刀
9.已知关于的一元二次方程
若方程有两个相等的实数根时，求的值．
当方程没有实数根时，求出的最小正整数的值．
解：根据题意得且，
所以；
根据题意得且，
所以，
所以的最小正整数的值为．
课堂小结
课堂小结
1.根的判别式的应用：
(1)直用：不解方程，判断方程根的情况．
(2)逆用：由方程根的情况，求字母系数的取值范围．
注意：一元二次方程有实数根，包含有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根两种情况．
课堂小结
2. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)
判别式的情况 根 的 情 况 定 理 与 逆 定 理

△＞0 两个不相等的实根 △＞0 两个不相等
的实根
△＝0 两个相等的实根 △＝0 两个相等的
实根
△＜0 无实根 △＜0 无实根
同学们，
下节课见！
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