冀教版（新）九上-24.2 解一元二次方程 第一课时【优质课件】

(共27张PPT)
24.2 解一元二次方程
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
配方法——直接开平方法解方程：
形如x =p(p≥0)型方程的解法
形如(mx+n) =p(p≥0)型方程的解法
新课精讲
探索新知
1
知识点
形如x =p(p≥0)型方程的解法
问 题（一）
一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，
李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正
方体形状的盒子的全部外表面，你能算
出盒子的棱长吗？
探索新知
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
10×6x2=1500. ①
整理，得
x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即 x1=5, x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
探索新知
归 纳
一般地，对于方程 x2＝p， (Ⅰ)
(1) 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根x1＝－ ，x2＝ ；
(2) 当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
(3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根．
探索新知
例1 若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则 ＝________．
利用直接开平方法得到x＝± 可知方程的两个根互
为相反数，故可求出m的值．根据m的值再求 的值．
∵x2＝ (ab＞0)，∴x＝±
∴方程的两个根互为相反数．
∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1.
∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2.
∴ ＝2，∴ ＝4.
导引：
4
探索新知
例2 用直接开平方法解下列方程．
(1)x2－81＝0；(2)4x2－64＝0
用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化成x2＝p(p≥0)的形式，再根据平方根的意义求解．
(1) 移项得x2＝81，于是 x＝±9，
即x1＝9，x2＝－9.
(2)移项得4x2＝64，于是x2＝16，所以x＝±4，
即x1＝4，x2＝－4.
导引：
解：
探索新知
总 结
用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．
典题精讲
1 方程x2－3＝0的根是________.
对于方程x2＝m－1.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；
(2)若方程有两个相等的实数根，则m________；
(3)若方程无实数根，则m________．
>1
=1
＜1
±
典题精讲
下列方程中，没有实数根的是(　　)
A．2x＋3＝0 B．x2－1＝0
C. ＝1 D．x2＋x＋1＝0
D
探索新知
2
知识点
形如(mx+n) =p(p≥0)型方程的解法
探究
对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解
方程(x＋3)2＝5
在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5.
由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，②
得 x＋3＝± ，
即 x＋3＝ ，或x＋3＝－ ，③
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为
x1＝－3＋ ，x2＝－3－ .
探索新知
归 纳
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了．
探索新知
例3 用直接开平方法解下列方程．
(1)(x－3)2＝25；(2)(x－5)2＝0.
解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.
(2)x－5＝0，所以x＝5.
探索新知
总 结
解形如(mx+n) =p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解.
典题精讲
1
已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b 的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
C
典题精讲
2
一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　)
A．x－6＝4 B．x－6＝－4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
一元二次方程(x－2)2＝1的根是(　　)
A．x＝3 B．x1＝3，x2＝－3
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝1，x2＝－3
3
D
C
学以致用
小试牛刀
1.已知一元二次方程（x-3） 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ )
A.10 B.10或8 C.9 D.8
A
2.一元二次方程（x+6） =16 可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A.x-6=3 B. x-6=-4
C. x+6=4 D. x+6=-4
D
小试牛刀
3.若（a +b -3） =25，求a +b 的值.
解：∵（ a +b -3 ）=25，
∴ a +b -3=5或a +b -3=-5
∴ a +b =8或a +b =-2.
∵ a +b ≥0，∴ a +b =8
小试牛刀
4.若2y=（x-1） +1，且y的算术平方根是 ，求x+2y的值.
解：∵y的算术平方根是 ，∴y=5.
∴2y=（x-1） +1，∴10= （x-1） +1，
移项，得（x-1） =9.
解得x1＝-2，x2 =4.
小试牛刀
5.若一元二次方程ax =b(ab>0）的两个根分别是m+1与2m-4，求 的值．
解：∵m+1与2m-4分别是一元二次方程ax =b(ab>0）的两个根，
∴（m+1）+（2m-4）=0,
∴m=1，即方程的两根分别为2和-2.把x=2或x=-2代入
ax =b中，得4a=b，∴ =4.
课堂小结
课堂小结
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
开方
求解
变形
将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；
利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；
解一元一次方程，得出方程的根．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）